如何只用四個 2 來表示任意整數

有個可愛的數學謎題，不同程度的人都會覺得很有趣：

給定四個數字 2 和任意一個自然數作為目標，運用任何數學運算，只使用這四個 2（不能使用其他數字）來產生目標數字。

有些例子小學生就能解出來：

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

到了中學，學生們學到指數、階乘等等，能表示的範圍就大大擴展了：

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

接著是一些小技巧；例如，數字 22（二十二）可以看作是兩個 2 的有效使用，諸如此類；所以我們可以得到：

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

要得到 7 是出了名的困難，但如果你允許使用更多的數學工具，像是伽瑪函數，那就變得很簡單了：

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

人們的數學能力越強，就能構造出越多的數字。參考這個討論串，裡面有一些使用積分、循環小數和組合運算符的有趣組合。我最喜歡的一個例子涉及複數：

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

所以即使大學畢業後，樂趣也不會結束！事實上，這似乎是 1920 年代數學家們最喜歡的消遣。直到保羅·狄拉克找到了一個適用於所有數字的通解，才終結了大家的樂趣。

關鍵在於嵌套平方根：

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

如果平方根運算 n 次：

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

現在只需要一些以 2 為底的對數：

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

再來一個：

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

這就得到了通式：

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

只有一個小問題：它使用了*三*個數字 2，而不是四個。不過，這很容易修改；因為 $2=\sqrt{2+2}$，我們可以將任何一個數字 2 替換成它，這樣就剛好是四個了：

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

有人可能會說這是作弊，但這似乎符合謎題的規則！請注意，*n* 這個符號實際上並沒有出現在任何地方——它只是用來計算重複平方根次數的輔助符號。例如，表達 7 的另一種方式是：

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

這裡剛好有四個 2，而且只使用了合理的基礎數學運算來進行計算。顯然，*任何*數字都可以用這種方式表達；唯一的挑戰是正確地畫出所有那些平方根符號！

出處

我是在葛拉漢·法梅洛 (Graham Farmelo) 的著作《最奇怪的人：量子天才保羅·狄拉克的隱秘生活》(The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius) 中讀到這個故事的。到目前為止，我很喜歡這本書。