如何只用四个 2 来表示任意整数

有一个有趣的数学谜题，不同水平的人都会觉得它很有意思：

给定四个数字 2 和一个目标自然数，可以使用任何数学运算，用这四个 2 来生成目标数字，但不能使用其他数字。

小学生可以完成一些例子：

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

到了中学，孩子们会学习指数、阶乘等，这大大扩展了范围：

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

然后是一些技巧；例如，数字 22（二十二）可以看作是两个 2 的有效使用，以此类推；所以我们可以得到：

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

得到 7 是出了名的困难，但是如果你允许使用更多的数学工具，比如伽马函数，它就变得容易了：

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

人们掌握的数学技能越多，他们就能构造出越多的数字。参见这个帖子，其中有一些使用积分、循环小数和组合运算符的有趣组合。我最喜欢的一个例子涉及复数：

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

所以即使一个人从大学毕业后，乐趣也不会结束！事实上，这似乎是 20 世纪 20 年代数学家们最喜欢的消遣方式。直到保罗·狄拉克找到了每个数字的通用解，破坏了所有人的乐趣。

这都是关于嵌套平方根的：

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

如果平方根运算执行 n 次：

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

现在剩下的就是一些以 2 为底的对数：

${\log }_2{2}^{2^{(}}=2^{(-n)}$

再来一个：

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(}})=-n$

这引出了通用公式：

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

只有一点小问题：它使用了 *三* 个数字 2，而不是四个。不过，这很容易修改；因为 $2=\sqrt{2+2}$，我们可以用它替换任何一个数字，就可以得到四个：

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

有人可能会说这是作弊，但这似乎符合谜题的规则！请注意，实体 *n* 实际上并没有出现在任何地方——它只是一个帮助计算重复平方根次数的辅助工具。例如，表达 7 的另一种方式是：

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

这里恰好有四个 2，而且只使用了合理的、基本的数学运算来进行计算。很明显，*任何* 数字都可以用这种方式表达；唯一的挑战是正确地画出所有这些平方根！

鸣谢

我曾在格雷厄姆·法梅洛的书《最奇怪的人：量子天才保罗·狄拉克的隐秘生活》中读到过这个故事。到目前为止，我很喜欢这本书。