Cách tạo bất kỳ số nguyên nào chỉ với bốn số 2

Có một câu đố toán học thú vị mà nhiều người ở các trình độ khác nhau đều có thể thấy hấp dẫn:

Cho chính xác bốn chữ số 2 và một số tự nhiên đích, hãy sử dụng bất kỳ phép toán nào để tạo ra số đích với bốn số 2 này, không sử dụng bất kỳ chữ số nào khác.

Một số ví dụ mà học sinh tiểu học có thể làm được:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

Ở cấp hai, học sinh học về lũy thừa, giai thừa, v.v., mở rộng phạm vi đáng kể:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Sau đó là các mẹo; ví dụ, số 22 (hai mươi hai) có thể được coi là một cách sử dụng hợp lệ hai số 2, v.v.; vì vậy chúng ta có thể có:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Việc tạo ra số 7 nổi tiếng là khó, nhưng nếu bạn cho phép nhiều công cụ toán học hơn như hàm Gamma, nó trở nên dễ dàng:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Càng có nhiều kỹ năng toán học, người ta càng có thể tạo ra nhiều số hơn. Xem chủ đề này để biết một số cách kết hợp thú vị sử dụng tích phân, phân số lặp và toán tử tổ hợp. Một trong những ví dụ yêu thích của tôi liên quan đến số phức:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Vì vậy, niềm vui không kết thúc ngay cả sau khi tốt nghiệp đại học! Trên thực tế, đây dường như là một trò tiêu khiển yêu thích của các nhà toán học vào những năm 1920. Cho đến khi Paul Dirac làm hỏng nó cho mọi người bằng cách tìm ra một giải pháp chung cho mọi con số.

Tất cả là về căn bậc hai lồng nhau:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Nếu căn bậc hai được áp dụng n lần:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Tất cả những gì còn lại bây giờ là một số logarit cơ số 2:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

Và một cái khác:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Điều này dẫn đến công thức chung:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Chỉ có một chút rắc rối nhỏ: nó sử dụng *ba* chữ số 2, không phải bốn. Tuy nhiên, điều này rất dễ sửa đổi; vì $2=\sqrt{2+2}$, chúng ta có thể thay thế bất kỳ chữ số đơn nào bằng số đó và có chính xác bốn số:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Người ta có thể cho rằng đây là gian lận, nhưng nó dường như phù hợp với các quy tắc của câu đố! Lưu ý rằng thực thể *n* không thực sự xuất hiện ở bất cứ đâu – nó chỉ là một công cụ trợ giúp để đếm số lần lặp lại căn bậc hai. Ví dụ, một cách khác để biểu thị 7 là:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Có chính xác bốn số 2 và cách này chỉ sử dụng các phép toán cơ bản, hợp lý để thực hiện phép tính. Rõ ràng là *bất kỳ* số nào cũng có thể được biểu thị theo cách này; thử thách duy nhất là vẽ đúng tất cả các căn bậc hai đó!

Nguồn

Tôi đã đọc về câu chuyện này trong cuốn sách của Graham Farmelo *The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius*. Tôi đang rất thích cuốn sách này.