Yalnızca Dört Tane İki Kullanarak Herhangi Bir Tam Sayı Nasıl Elde Edilir?

Farklı seviyelerdeki insanlar için ilginç olabilecek şirin bir matematik bulmacası var:

Tam olarak dört adet 2 rakamı ve bir hedef doğal sayı verildiğinde, herhangi bir matematiksel işlemi kullanarak bu 2’lerle hedef sayıyı oluşturun, başka hiçbir rakam kullanmadan.

Bazı örnekler ilkokul çocukları tarafından yapılabilir:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

Ortaokulda, çocuklar üslü sayılar, faktöriyeller vb. hakkında bilgi edinirler, bu da aralığı önemli ölçüde genişletir:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Sonra işin püf noktaları gelir; örneğin, 22 (yirmi iki) sayısı iki tane 2’nin geçerli bir kullanımı olarak görülebilir ve bu böyle devam eder; yani şunlara sahip olabiliriz:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

7’ye ulaşmak oldukça zordur, ancak Gama fonksiyonu gibi daha fazla matematiksel araca izin verirseniz, kolaylaşır:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

İnsanların matematik becerisi ne kadar fazlaysa, o kadar çok sayı üretebilirler. İntegraller, tekrar eden kesirler ve kombinasyonel operatörler kullanan bazı eğlenceli karışımlar için bu başlığa bakın. En sevdiğim örneklerden biri karmaşık sayıları içeriyor:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Yani eğlence, üniversiteden mezun olduktan sonra bile bitmiyor! Aslında, bu 1920’lerde matematikçiler için favori bir eğlence gibi görünüyor. Ta ki Paul Dirac her sayı için genel bir çözüm bularak herkes için işleri bozuncaya kadar.

Her şey iç içe kareköklerle ilgili:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Eğer karekök n kez uygulanırsa:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Geriye sadece birkaç 2 tabanında logaritma kalıyor:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

Ve bir tane daha:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Bu, genel formüle götürür:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Küçük bir pürüz var: Dört tane değil, üç tane 2 rakamı kullanıyor. Ancak bunu düzeltmek kolaydır; çünkü $2=\sqrt{2+2}$, herhangi bir rakamı bununla değiştirerek tam olarak dörde ulaşabiliriz:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Bunun hile olduğu iddia edilebilir, ancak bulmacanın kurallarına uygun görünüyor! n‘nin aslında hiçbir yerde görünmediğini unutmayın – bu sadece tekrarlanan karekök sayısını saymak için bir yardımcıdır. Örneğin, 7’yi ifade etmenin başka bir yolu:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Tam olarak dört tane 2 var ve bu, hesaplamayı yapmak için yalnızca makul, temel matematiksel işlemler kullanıyor. Herhangi bir sayının bu şekilde ifade edilebileceği açıktır; tek zorluk, tüm bu karekökleri düzgün bir şekilde çizmektir!

Katkıda Bulunanlar

Bu hikayeyi Graham Farmelo’nun The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius (En Tuhaf Adam: Paul Dirac’ın Gizli Yaşamı, Kuantum Dehası) kitabında okudum. Şu ana kadar bu kitaptan keyif alıyorum.