LLM พิชิต 2 ปัญหาคณิตศาสตร์สุดหิน: แก้โจทย์ข้อที่ 554 ของซึมูระ และหักล้างทฤษฎี Majority Optimality ได้สำเร็จ

GPT-5 Pro เพิ่งแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันและขึ้นชื่อว่ายากมากสองข้อได้สำเร็จ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความสามารถในการให้เหตุผลเชิงนามธรรมในระดับใหม่ที่ทรงพลัง นี่ไม่ใช่แค่กลเม็ดเด็ดพรายธรรมดา เพราะหนึ่งในคำตอบนั้นท้าทายโจทย์มาตรฐานระดับโอลิมปิกคณิตศาสตร์ (IMO) ส่วนอีกคำตอบหนึ่งก็ได้หักล้างสมมติฐานที่มีมาอย่างยาวนานในทฤษฎีสารสนเทศ

เป็นที่น่าสังเกตว่าคู่แข่งชั้นนำอย่าง Gemini 2.5 Pro ในโหมด "Deep Think" ของ Google และ Claude 4.5+ ของ Anthropic ยังไม่เคยถูกนำมาทดสอบกับปัญหาสองข้อนี้อย่างเป็นทางการ

นี่คือบทสรุปง่ายๆ ของเรื่องราวที่เกิดขึ้น

1. ปริศนาพีชคณิต: โจทย์ข้อที่ 554 ของ ยู ซึมูระ (Yu Tsumura)

GPT-5-Pro solved, in just 15 minutes (without any internet search), the presentation problem known as “Yu Tsumura’s 554th Problem.”https://t.co/tKae6Vo0Kb

This is the first model to solve this task completely. I expect more such results soon — the model demonstrates a strong… pic.twitter.com/5ntk692BbY

— Bartosz Naskręcki (@nasqret) October 5, 2025

โจทย์นี้คืออะไร? นี่คือโจทย์จากชุดปัญหาของ ยู ซึมูระ ซึ่งมีความยากประมาณระดับการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกระหว่างประเทศ (IMO) โจทย์คือการพิสูจน์ว่ากรุป (group) ทางคณิตศาสตร์กลุ่มหนึ่งซึ่งนิยามโดยกฎที่ควบคุมตัวก่อกำเนิด (generator) สองตัวของมัน เป็นกรุป "ชัดแจ้ง" (trivial) (หมายถึงเป็นกรุปที่เรียบง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้) ด้วยความที่โจทย์สั้นกระชับ มันจึงกลายเป็นมาตรฐานในการทดสอบว่า AI มีความสามารถในการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ระดับสูงแล้วหรือยัง

แล้ว GPT-5 Pro ทำอะไร? มันกลายเป็นโมเดล AI ตัวแรกที่แก้ปัญหานี้ได้ จากข้อมูลของนักคณิตศาสตร์อิสระที่ได้ทดสอบโมเดลนี้ GPT-5 Pro สามารถสร้างบทพิสูจน์ที่สมบูรณ์ได้ในเวลาเพียง 15 นาที โดยไม่ต้องเชื่อมต่ออินเทอร์เน็ต

ทำไมถึงสำคัญ: นี่คือตัวชี้วัดความก้าวหน้าโดยตรง เพราะเมื่อไม่กี่เดือนก่อน เพิ่งมีงานวิจัยหัวข้อ "ยังไม่มี LLM ใดแก้โจทย์ข้อที่ 554 ของ ยู ซึมูระ ได้" ที่ระบุว่าโมเดลในปัจจุบันยังขาดความสามารถในการทำโจทย์ลักษณะนี้ ความสำเร็จของ GPT-5 Pro แสดงให้เห็นถึงการพัฒนาที่รวดเร็วอย่างไม่น่าเชื่อในทักษะการให้เหตุผลของ AI

2. การค้นพบครั้งสำคัญในทฤษฎีสารสนเทศ: การหักล้างทฤษฎี Majority Optimality

GPT-5 Pro found a counterexample to the NICD-with-erasures majority optimality (Simons list, p.25).https://t.co/T3m9MYgqe0

At p=0.4, n=5, f(x) = sign(x_1-3x_2+x_3-x_4+3x_5) gives E|f(x)|=0.43024 vs best majority 0.42904. pic.twitter.com/kocWu7D9HD

— Paata Ivanisvili (@PI010101) October 5, 2025

โจทย์นี้คืออะไร? ปัญหานี้เป็นที่รู้จักในชื่อ "NICD-with-erasures majority optimality" ซึ่งมาจากทฤษฎีสารสนเทศ ลองจินตนาการว่ามีคนสองคนได้รับสัญญาณเดียวกันในเวอร์ชันที่ข้อมูลเสียหาย พวกเขาแต่ละคนต้องพยายามเดาฟังก์ชันจากข้อมูลบางส่วนที่ได้รับ โดยมีเป้าหมายเพื่อเพิ่มโอกาสให้ทั้งคู่เดาได้เหมือนกันมากที่สุด เป็นเวลานานที่ผู้เชี่ยวชาญเชื่อว่ากลยุทธ์ที่ดีที่สุดคือ "majority function" (โดยพื้นฐานแล้วก็คือการลงคะแนนเสียงข้างมากจากจุดข้อมูล)

แล้ว GPT-5 Pro ทำอะไร? มันพิสูจน์ว่าความเชื่อที่มีมาอย่างยาวนานนี้ผิด แทนที่จะแก้ปัญหาเพื่อหาฟังก์ชันที่ดีที่สุด GPT-5 Pro กลับค้นพบตัวอย่างค้าน (counterexample) ที่เฉพาะเจาะจง ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่แตกต่างออกไปและให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่ากฎเสียงข้างมากเล็กน้อยแต่ชัดเจนภายใต้เงื่อนไขบางประการ

นี่คือตัวอย่างค้านที่มันค้นพบสำหรับเงื่อนไขเฉพาะ (p=0.4, n=5): f(x) = sign(x_1 - 3x_2 + x_3 - x_4 + 3x_5)

ฟังก์ชันนี้ทำคะแนนได้ 0.43024 ซึ่งสูงกว่าคะแนนของฟังก์ชันเสียงข้างมากที่ดีที่สุดที่ทำได้ 0.42904

ทำไมถึงสำคัญ: นี่คือปัญหาพื้นฐานที่มีการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติอย่างมหาศาล การค้นหาฟังก์ชันที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการกู้คืนสัญญาณส่งผลโดยตรงต่อวิธีที่เราออกแบบรหัสแก้ความผิดพลาด (error-correcting codes) สำหรับการจัดเก็บข้อมูล ช่องทางการสื่อสาร และการกู้คืนข้อมูล การหักล้างสมมติฐานเดิมของ GPT-5 Pro ได้เปิดหน้าใหม่ของการวิจัยในสาขานี้