วิธีสร้างจำนวนเต็มใด ๆ ด้วยเลขสองเพียงสี่ตัว

มีปริศนาคณิตศาสตร์น่ารัก ๆ ที่น่าสนใจสำหรับคนหลายระดับ:

กำหนดให้มีเลข 2 จำนวนสี่ตัว และจำนวนธรรมชาติเป้าหมาย ใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ใด ๆ เพื่อสร้างจำนวนเป้าหมายด้วยเลข 2 เหล่านี้ โดยไม่ใช้ตัวเลขอื่น

ตัวอย่างบางส่วนสามารถทำได้โดยเด็กประถม:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

ในโรงเรียนมัธยม เด็ก ๆ เรียนรู้เกี่ยวกับเลขชี้กำลัง แฟกทอเรียล ฯลฯ ซึ่งขยายขอบเขตได้อย่างมาก:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

จากนั้นก็มีกลเม็ด ตัวอย่างเช่น เลข 22 (ยี่สิบสอง) สามารถมองว่าเป็นการใช้เลข 2 สองตัวที่ถูกต้อง และอื่น ๆ ดังนั้นเราจึงสามารถมี:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

การสร้างเลข 7 นั้นยากมาก แต่ถ้าคุณอนุญาตให้ใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เช่น ฟังก์ชันแกมมา มันจะกลายเป็นเรื่องง่าย:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

ยิ่งคนมีความรู้ทางคณิตศาสตร์มากเท่าไหร่ ก็ยิ่งสร้างตัวเลขได้มากขึ้นเท่านั้น ดู กระทู้นี้ สำหรับการผสมผสานที่สนุกสนานโดยใช้อินทิกรัล เศษส่วนซ้ำ และตัวดำเนินการเชิงการจัด หนึ่งในตัวอย่างที่ฉันชอบเกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

ดังนั้นความสนุกจึงไม่สิ้นสุดแม้หลังจากสำเร็จการศึกษาจากมหาวิทยาลัย! อันที่จริง ดูเหมือนว่านี่จะเป็นงานอดิเรกที่นักคณิตศาสตร์ชื่นชอบในช่วงทศวรรษ 1920 จนกระทั่ง พอล ดิแรก ทำลายมันสำหรับทุกคนด้วยการค้นพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับทุกจำนวน

ทั้งหมดนี้เกี่ยวกับรากที่สองที่ซ้อนกัน:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

ถ้ารากที่สองถูกใช้ n ครั้ง:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

สิ่งที่เหลืออยู่ตอนนี้คือลอการิทึมฐานสอง:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

และอีกอัน:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

สิ่งนี้นำไปสู่สูตรทั่วไป:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

มีรอยยับเล็กน้อยเพียงจุดเดียว: มันใช้เลข 2 จำนวน *สาม* ตัว ไม่ใช่สี่ตัว อย่างไรก็ตาม นี่เป็นเรื่องง่ายที่จะแก้ไข เนื่องจาก $2=\sqrt{2+2}$ เราสามารถแทนที่ตัวเลขเดียวด้วยค่านั้นและจะได้สี่ตัวพอดี:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

บางคนอาจอ้างว่านี่เป็นการโกง แต่มันดูเหมือนจะสอดคล้องกับกฎของปริศนา! โปรดทราบว่า n ไม่ได้ปรากฏที่ใดเลย – มันเป็นเพียงตัวช่วยในการนับจำนวนรากที่สองที่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น อีกวิธีหนึ่งในการแสดง 7 คือ:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

มีเลข 2 สี่ตัวพอดี และสิ่งนี้ใช้เฉพาะการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานที่สมเหตุสมผลในการคำนวณ เป็นที่ชัดเจนว่า *จำนวนใด ๆ* สามารถแสดงได้ด้วยวิธีนี้ ความท้าทายเดียวคือการวาดรากที่สองเหล่านั้นทั้งหมดอย่างถูกต้อง!

เครดิต

ฉันได้อ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ในหนังสือของ Graham Farmelo ชื่อ The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius ฉันกำลังสนุกกับหนังสือเล่มนี้