Hur man skapar alla heltal med bara fyra tvåor

Det finns en söt matematisk gåta som kan vara intressant för folk på väldigt olika nivåer:

Givet exakt fyra instanser av siffran 2 och något naturligt tal som mål, använd vilka matematiska operationer som helst för att generera måltalet med dessa 2:or, utan att använda några andra siffror.

Vissa exempel kan lösas av grundskolebarn:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

På högstadiet lär sig barnen om exponenter, fakulteter, etc. vilket utökar möjligheterna avsevärt:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Sedan kommer knepen; till exempel kan talet 22 (tjugotvå) ses som en giltig användning av två 2:or, och så vidare; så vi kan ha:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Att komma till 7 är ökänt svårt, men om man tillåter ännu fler matematiska verktyg som Gammafunktionen, blir det enkelt:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Ju mer matematisk skicklighet folk har, desto fler tal kan de skapa. Se denna tråd för några roliga hopkok med integraler, upprepade bråk och kombinatoriska operatorer. Ett av mina favoritexempel involverar komplexa tal:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Så det roliga tar inte slut även efter att man tagit examen från universitetet! Faktum är att detta verkar ha varit ett favoritnöje för matematiker på 1920-talet. Tills Paul Dirac förstörde det för alla genom att hitta en generell lösning för varje tal.

Det handlar om nästlade kvadratrötter:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Om kvadratroten appliceras n gånger:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Allt som återstår nu är några bas-2 logaritmer:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

Och ytterligare en:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Detta leder till den allmänna formeln:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Det finns bara en liten hake: den använder *tre* instanser av siffran 2, inte fyra. Detta är dock lätt att åtgärda; eftersom $2=\sqrt{2+2}$, kan vi ersätta en ensam siffra med det och få exakt fyra:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Man kan hävda att detta är fusk, men det verkar vara i linje med gåtans regler! Notera att enheten *n* faktiskt inte förekommer någonstans – det är bara en hjälp för att räkna antalet upprepade kvadratrötter. Ett annat sätt att uttrycka 7 är till exempel:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Det finns exakt fyra 2:or, och detta använder bara rimliga, elementära matematiska operationer för att göra beräkningen. Det är tydligt att *alla* tal kan uttryckas på detta sätt; den enda utmaningen är att rita alla dessa kvadratrötter korrekt!

Källor

Jag har läst om denna historia i Graham Farmelos bok *The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius*. Jag tycker om den här boken hittills.