Kako napraviti bilo koji ceo broj koristeći samo četiri dvojke

Save and Share:

Postoji simpatična matematička zagonetka koja može biti zanimljiva ljudima na veoma različitim nivoima:

Ako imamo tačno četiri cifre 2 i neki ciljni prirodan broj, treba koristiti bilo koje matematičke operacije da se generiše ciljni broj sa ove četiri dvojke, ne koristeći nijednu drugu cifru.

Neke primere mogu da urade deca u osnovnoj školi:

$\begin{aligned} 1 & = \frac{2 + 2}{2 + 2} \\ 2 & = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} \\ 3 & = 2 \cdot 2 - \frac{2}{2} \\ 4 & = 2 + 2 + 2 - 2 \\ 5 & = 2 \cdot 2 + \frac{2}{2} \\ 6 & = 2 \cdot 2 \cdot 2 - 2 \end{aligned}$

U srednjoj školi, deca uče o eksponentima, faktorijelima, itd., što znatno proširuje opseg:

$\begin{aligned} 18 & = 2^{2^{2}} + 2 \\ 28 & = (2 + 2)! + 2 + 2 \\ 256 & = (2 + 2)^{2 + 2} \\ 65536 & = 2^{2^{2^{2}}} \end{aligned}$

Onda dolaze trikovi; na primer, broj 22 (dvadeset dva) se može smatrati validnom upotrebom dve dvojke, i tako dalje; pa možemo imati:

$\begin{aligned} 26 & = 22 + 2 + 2 \\ 11 & = \frac{22}{\sqrt{2 + 2}} \\ 444 & = 222 \cdot 2 \end{aligned}$

Doći do broja 7 je notorno teško, ali ako dozvolite još više matematičkih alata poput Gama funkcije, postaje lako:

$7 = Γ (2) + 2 + 2 + 2$

Što više matematičkog znanja ljudi imaju, više brojeva mogu da naprave. Pogledajte ovu nit za neke zabavne kombinacije koje koriste integrale, ponavljajuće razlomke i kombinatorne operatore. Jedan od mojih omiljenih primera uključuje kompleksne brojeve:

$12 = | 2 + 2 \sqrt{- 2} |^{2}$

Dakle, zabava se ne završava čak ni nakon diplomiranja na univerzitetu! Zapravo, čini se da je ovo bila omiljena zabava matematičara 1920-ih. Sve dok Pol Dirak nije sve pokvario pronašavši opšte rešenje za svaki broj.

Sve je u ugnježdenim kvadratnim korenima:

$\begin{aligned} \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2^{- 1}} \\ \sqrt{\sqrt{2}} = 2^{\frac{1}{4}} = 2^{2^{- 2}} \\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}} = 2^{\frac{1}{8}} = 2^{2^{- 3}} \end{aligned}$

Ako se kvadratni koren primeni n puta:

$\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}} = 2^{2^{(- n)}}$

Sve što je preostalo su logaritmi sa osnovom 2:

$\log_{2} 2^{2^{(- n)}} = 2^{(- n)}$

I još jedan:

$\log_{2} (\log_{2} 2^{2^{(- n)}}) = - n$

Ovo dovodi do opšte formule:

$n = - \log_{2} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}}))$

Postoji samo jedna mala začkoljica: koristi tri instance cifre 2, a ne četiri. Ovo je lako ispraviti, međutim; pošto je $2 = \sqrt{2 + 2}$ , možemo zameniti bilo koju pojedinačnu cifru sa tim i dobiti tačno četiri:

$n = - \log_{\sqrt{2 + 2}} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}}))$

Neko bi mogao reći da je ovo varanje, ali čini se da je u skladu sa pravilima zagonetke! Imajte na umu da se entitet n zapravo nigde ne pojavljuje – to je samo pomoćnik za brojanje broja ponovljenih kvadratnih korena. Na primer, drugi način da se izrazi 7 je:

$7 = - \log_{\sqrt{2 + 2}} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}))$

Postoje tačno četiri dvojke, i ovo koristi samo razumne, elementarne matematičke operacije za izračunavanje. Jasno je da se bilo koji broj može izraziti na ovaj način; jedini izazov je pravilno nacrtati sve te kvadratne korene!