Kako izraziti poljubno celo število s samo štirimi dvojkami

Save and Share:

Obstaja simpatična matematična uganka, ki je lahko zanimiva ljudem z zelo različnimi stopnjami znanja:

Imamo natanko štiri primerke števke 2 in neko ciljno naravno število. Uporabite poljubne matematične operacije, da s temi štirimi dvojkami, brez uporabe drugih števk, ustvarite ciljno število.

Nekaj primerov lahko rešijo že osnovnošolci:

$\begin{aligned} 1 & = \frac{2 + 2}{2 + 2} \\ 2 & = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} \\ 3 & = 2 \cdot 2 - \frac{2}{2} \\ 4 & = 2 + 2 + 2 - 2 \\ 5 & = 2 \cdot 2 + \frac{2}{2} \\ 6 & = 2 \cdot 2 \cdot 2 - 2 \end{aligned}$

V višjih razredih osnovne šole se učenci učijo o potencah, fakultetah itd., kar precej razširi nabor možnosti:

$\begin{aligned} 18 & = 2^{2^{2}} + 2 \\ 28 & = (2 + 2)! + 2 + 2 \\ 256 & = (2 + 2)^{2 + 2} \\ 65536 & = 2^{2^{2^{2}}} \end{aligned}$

Potem pridejo na vrsto triki; na primer, število 22 (dvaindvajset) lahko razumemo kot veljavno uporabo dveh dvojk in tako naprej. Tako imamo lahko:

$\begin{aligned} 26 & = 22 + 2 + 2 \\ 11 & = \frac{22}{\sqrt{2 + 2}} \\ 444 & = 222 \cdot 2 \end{aligned}$

Število 7 je pregovorno težko dobiti, a če dovolimo še več matematičnih orodij, kot je funkcija gama, postane preprosto:

$7 = Γ (2) + 2 + 2 + 2$

Več matematičnega znanja kot imajo ljudje, več števil lahko ustvarijo. Oglejte si to nit za nekaj zabavnih zvarkov z uporabo integralov, ponavljajočih se ulomkov in kombinatoričnih operatorjev. Eden mojih najljubših primerov vključuje kompleksna števila:

$12 = | 2 + 2 \sqrt{- 2} |^{2}$

Torej se zabava ne konča niti po diplomi na univerzi! Pravzaprav se zdi, da je bilo to priljubljeno razvedrilo matematikov v dvajsetih letih prejšnjega stoletja. Dokler Paul Dirac ni vsega pokvaril, ker je našel splošno rešitev za vsako število.

Vse se vrti okoli gnezdenih kvadratnih korenov:

$\begin{aligned} \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2^{- 1}} \\ \sqrt{\sqrt{2}} = 2^{\frac{1}{4}} = 2^{2^{- 2}} \\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}} = 2^{\frac{1}{8}} = 2^{2^{- 3}} \end{aligned}$

Če kvadratni koren uporabimo n-krat:

$\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}} = 2^{2^{(- n)}}$

Zdaj potrebujemo le še nekaj logaritmov z osnovo 2:

$\log_{2} 2^{2^{(- n)}} = 2^{(- n)}$

In še enega:

$\log_{2} (\log_{2} 2^{2^{(- n)}}) = - n$

To vodi do splošne formule:

$n = - \log_{2} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}}))$

Obstaja le majhna težava: formula uporablja *tri* primerke števke 2, ne štiri. To pa je enostavno popraviti, saj je $2 = \sqrt{2 + 2}$ , lahko katero koli posamezno števko zamenjamo s tem in dobimo natanko štiri:

$n = - \log_{\sqrt{2 + 2}} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}}))$

Morda bi kdo trdil, da je to goljufanje, vendar se zdi, da je v skladu s pravili uganke! Upoštevajte, da se *n* dejansko nikjer ne pojavi – je le pomočnik za štetje števila ponovljenih kvadratnih korenov. Na primer, drug način za izražanje števila 7 je:

$7 = - \log_{\sqrt{2 + 2}} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}))$

Imamo natanko štiri dvojke in za izračun uporabljamo samo razumne, osnovne matematične operacije. Jasno je, da je *katero koli* število mogoče izraziti na ta način; edini izziv je pravilno narisati vse te kvadratne korene!