Ako vytvoriť ľubovoľné celé číslo len so štyrmi dvojkami

Save and Share:

Existuje roztomilá matematická hádanka, ktorá môže byť zaujímavá pre ľudí na rôznych úrovniach:

Máme k dispozícii presne štyri dvojky a nejaké cieľové prirodzené číslo. Úlohou je použiť ľubovoľné matematické operácie na vygenerovanie cieľového čísla pomocou týchto štyroch dvojok, bez použitia iných číslic.

Niektoré príklady zvládnu aj deti na základnej škole:

$\begin{aligned} 1 & = \frac{2 + 2}{2 + 2} \\ 2 & = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} \\ 3 & = 2 \cdot 2 - \frac{2}{2} \\ 4 & = 2 + 2 + 2 - 2 \\ 5 & = 2 \cdot 2 + \frac{2}{2} \\ 6 & = 2 \cdot 2 \cdot 2 - 2 \end{aligned}$

Na strednej škole sa deti učia o exponentoch, faktoriáloch atď., čo značne rozširuje možnosti:

$\begin{aligned} 18 & = 2^{2^{2}} + 2 \\ 28 & = (2 + 2)! + 2 + 2 \\ 256 & = (2 + 2)^{2 + 2} \\ 65536 & = 2^{2^{2^{2}}} \end{aligned}$

Potom prichádzajú triky; napríklad číslo 22 (dvadsaťdva) možno považovať za platné použitie dvoch dvojok atď.; takže môžeme mať:

$\begin{aligned} 26 & = 22 + 2 + 2 \\ 11 & = \frac{22}{\sqrt{2 + 2}} \\ 444 & = 222 \cdot 2 \end{aligned}$

Dostať sa k číslu 7 je notoricky ťažké, ale ak povolíte ešte viac matematických nástrojov, ako napríklad funkciu Gama, stane sa to jednoduchým:

$7 = Γ (2) + 2 + 2 + 2$

Čím viac matematických zručností ľudia majú, tým viac čísel dokážu vytvoriť. Pozrite si toto vlákno, kde nájdete niekoľko zábavných kombinácií s integrálmi, opakujúcimi sa zlomkami a kombinatorickými operátormi. Jeden z mojich obľúbených príkladov zahŕňa komplexné čísla:

$12 = | 2 + 2 \sqrt{- 2} |^{2}$

Takže zábava nekončí ani po absolvovaní univerzity! V skutočnosti sa zdá, že to bola obľúbená zábava matematikov v 20. rokoch 20. storočia. Až kým to Paul Dirac všetkým nepokazil tým, že našiel všeobecné riešenie pre každé číslo.

Všetko je to o vnorených druhých odmocninách:

$\begin{aligned} \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2^{- 1}} \\ \sqrt{\sqrt{2}} = 2^{\frac{1}{4}} = 2^{2^{- 2}} \\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}} = 2^{\frac{1}{8}} = 2^{2^{- 3}} \end{aligned}$

Ak sa druhá odmocnina aplikuje n-krát:

$\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}} = 2^{2^{(- n)}}$

Teraz už len stačia nejaké logaritmy so základom 2:

$\log_{2} 2^{2^{(- n)}} = 2^{(- n)}$

A ešte jeden:

$\log_{2} (\log_{2} 2^{2^{(- n)}}) = - n$

To vedie k všeobecnému vzorcu:

$n = - \log_{2} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}}))$

Je tu len jeden malý háčik: používa tri dvojky, nie štyri. To sa však dá ľahko napraviť; keďže $2 = \sqrt{2 + 2}$ , môžeme nahradiť ľubovoľnú jednu číslicu týmto výrazom a dostaneme presne štyri:

$n = - \log_{\sqrt{2 + 2}} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}}))$

Niekto by mohol namietať, že je to podvádzanie, ale zdá sa, že je to v súlade s pravidlami hádanky! Všimnite si, že entita n sa v skutočnosti nikde nenachádza – je to len pomôcka na spočítanie počtu opakovaných druhých odmocnín. Napríklad, iný spôsob, ako vyjadriť číslo 7, je:

$7 = - \log_{\sqrt{2 + 2}} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}))$

Sú tu presne štyri dvojky a na výpočet sa používajú len rozumné, elementárne matematické operácie. Je jasné, že akékoľvek číslo sa dá vyjadriť týmto spôsobom; jedinou výzvou je správne nakresliť všetky tie druhé odmocniny!