Как получить любое целое число, используя только четыре двойки

Есть симпатичная математическая головоломка, которая может быть интересна людям с самым разным уровнем подготовки:

Имея ровно четыре цифры 2 и некоторое целевое натуральное число, используйте любые математические операции, чтобы сгенерировать целевое число из этих двоек, не используя никаких других цифр.

Некоторые примеры доступны даже для учеников начальной школы:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

В средней школе дети изучают возведение в степень, факториалы и т. д., что значительно расширяет диапазон:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Затем идут хитрости; например, число 22 (двадцать два) можно рассматривать как допустимое использование двух двоек, и так далее; таким образом, мы можем получить:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Получить 7, как известно, сложно, но если вы разрешите использовать ещё больше математических инструментов, таких как гамма-функция, это станет легко:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Чем больше у людей математических навыков, тем больше чисел они могут составить. Посмотрите эту ветку, чтобы увидеть забавные комбинации с использованием интегралов, повторяющихся дробей и комбинаторных операторов. Один из моих любимых примеров включает комплексные числа:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Так что веселье не заканчивается даже после окончания университета! На самом деле, похоже, это было любимым времяпрепровождением математиков в 1920-х годах. Пока Поль Дирак не испортил всем удовольствие, найдя общее решение для любого числа.

Всё дело во вложенных квадратных корнях:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Если квадратный корень применяется n раз:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Осталось применить несколько логарифмов по основанию 2:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

И ещё один:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Это приводит к общей формуле:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Есть только одна небольшая загвоздка: в ней используются *три* цифры 2, а не четыре. Однако это легко исправить; поскольку $2=\sqrt{2+2}$, мы можем заменить любую отдельную цифру на это выражение и получить ровно четыре:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Кто-то может сказать, что это жульничество, но, похоже, это соответствует правилам головоломки! Обратите внимание, что переменная *n* на самом деле нигде не фигурирует — это просто вспомогательный элемент для подсчета количества повторяющихся квадратных корней. Например, ещё один способ выразить 7:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Здесь ровно четыре двойки, и для вычисления используются только разумные, элементарные математические операции. Ясно, что *любое* число может быть выражено таким образом; единственная сложность — правильно нарисовать все эти квадратные корни!

Благодарности

Я прочитал об этой истории в книге Грэма Фармело *«Самый странный человек: Скрытая жизнь Поля Дирака, квантового гения»*. Мне пока нравится эта книга.