Como Obter Qualquer Número Inteiro Usando Apenas Quatro Dois

Há um enigma matemático engraçado que pode ser interessante para pessoas de diferentes níveis:

Dados exatamente quatro instâncias do dígito 2 e um determinado número natural alvo, use quaisquer operações matemáticas para gerar o número alvo com estes 2s, sem usar outros dígitos.

Alguns exemplos podem ser feitos por crianças do ensino básico:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

No ensino secundário, os alunos aprendem sobre expoentes, fatoriais, etc., o que expande consideravelmente o leque de possibilidades:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Depois, há truques; por exemplo, o número 22 (vinte e dois) pode ser visto como um uso válido de dois 2s, e assim por diante; então, podemos ter:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Chegar a 7 é notoriamente difícil, mas se permitirmos ainda mais ferramentas matemáticas, como a função Gama, torna-se fácil:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Quanto mais conhecimento matemático as pessoas tiverem, mais números conseguem formar. Veja esta discussão para algumas combinações divertidas usando integrais, frações periódicas e operadores combinatórios. Um dos meus exemplos favoritos envolve números complexos:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Portanto, a diversão não acaba, mesmo depois de terminar a universidade! Na verdade, este parece ter sido um passatempo favorito dos matemáticos na década de 1920. Até que Paul Dirac estragou tudo para todos, encontrando uma solução geral para todos os números.

A chave são as raízes quadradas encadeadas:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Se a raiz quadrada for aplicada n vezes:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Agora, basta usar alguns logaritmos de base 2:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

E outro:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Isto leva à fórmula geral:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Há apenas um pequeno senão: usa *três* instâncias do dígito 2, não quatro. No entanto, isto é fácil de corrigir; como $2=\sqrt{2+2}$, podemos substituir qualquer dígito individual por isso e obter exatamente quatro:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Pode-se argumentar que isto é batota, mas parece estar de acordo com as regras do enigma! Repare que a entidade
n não aparece em lado nenhum – é apenas uma ajuda para contar o número de raízes quadradas repetidas. Por exemplo, outra forma de expressar 7 é:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Há exatamente quatro 2s, e isto usa apenas operações matemáticas elementares e razoáveis para fazer o cálculo. É claro que *qualquer* número pode ser expresso desta forma; o único desafio é desenhar corretamente todas aquelas raízes quadradas!

Créditos

Li sobre esta história no livro de Graham Farmelo, *The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius*. Estou a gostar do livro até agora.