Como Formar Qualquer Número Inteiro com Apenas Quatro Dois

Existe um quebra-cabeça matemático interessante que pode ser divertido para pessoas com diferentes níveis de conhecimento:

Dados exatamente quatro ocorrências do dígito 2 e algum número natural alvo, use quaisquer operações matemáticas para gerar o número alvo com estes 2s, sem usar nenhum outro dígito.

Alguns exemplos podem ser feitos por crianças em idade escolar:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

No ensino fundamental, as crianças aprendem sobre expoentes, fatoriais, etc., o que expande consideravelmente o leque de possibilidades:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Depois vêm os truques; por exemplo, o número 22 (vinte e dois) pode ser visto como um uso válido de dois 2s, e assim por diante; então podemos ter:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Chegar ao 7 é notoriamente difícil, mas se você permitir ainda mais ferramentas matemáticas, como a função Gama, torna-se fácil:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Quanto mais habilidade matemática as pessoas têm, mais números elas conseguem formar. Veja esta discussão para algumas combinações divertidas usando integrais, frações periódicas e operadores combinatórios. Um dos meus exemplos favoritos envolve números complexos:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Portanto, a diversão não acaba mesmo depois que alguém se forma na universidade! Na verdade, este parece ter sido um passatempo favorito dos matemáticos na década de 1920. Até que Paul Dirac estragou tudo para todos, encontrando uma solução geral para cada número.

É tudo uma questão de raízes quadradas aninhadas:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Se a raiz quadrada for aplicada n vezes:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Agora basta usar alguns logaritmos na base 2:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

E outro:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Isso leva à fórmula geral:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Há apenas um pequeno detalhe: ela usa *três* ocorrências do dígito 2, não quatro. Mas isso é fácil de corrigir; como $2=\sqrt{2+2}$, podemos substituir qualquer dígito individual por isso e obter exatamente quatro:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Pode-se argumentar que isso é trapaça, mas parece estar de acordo com as regras do quebra-cabeça! Observe que a entidade *n* não aparece em lugar nenhum – é apenas um auxiliar para contar o número de raízes quadradas repetidas. Por exemplo, outra forma de expressar 7 é:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Há exatamente quatro 2s, e isso usa apenas operações matemáticas razoáveis e elementares para fazer o cálculo. Fica claro que *qualquer* número pode ser expresso dessa forma; o único desafio é desenhar corretamente todas aquelas raízes quadradas!

Créditos

Eu li sobre essa história no livro de Graham Farmelo, *The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius*. Estou gostando muito deste livro até agora.