Jak uzyskać dowolną liczbę całkowitą za pomocą czterech dwójek

Istnieje urocza zagadka matematyczna, która może być interesująca dla osób na bardzo różnych poziomach:

Mając dokładnie cztery cyfry 2 i pewną docelową liczbę naturalną, użyj dowolnych operacji matematycznych, aby wygenerować liczbę docelową za pomocą tych dwójek, nie używając żadnych innych cyfr.

Niektóre przykłady mogą być rozwiązane przez dzieci w szkole podstawowej:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

W gimnazjum dzieci uczą się o potęgach, silniach itp., co znacznie rozszerza zakres:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Potem dochodzą sztuczki; na przykład liczba 22 (dwadzieścia dwa) może być postrzegana jako poprawne użycie dwóch dwójek i tak dalej; więc możemy mieć:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Uzyskanie 7 jest notorycznie trudne, ale jeśli pozwolisz na jeszcze więcej narzędzi matematycznych, takich jak funkcja Gamma, staje się to łatwe:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Im więcej umiejętności matematycznych mają ludzie, tym więcej liczb mogą stworzyć. Zobacz ten wątek, aby zobaczyć zabawne kombinacje z wykorzystaniem całek, ułamków okresowych i operatorów kombinatorycznych. Jeden z moich ulubionych przykładów dotyczy liczb zespolonych:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Zabawa nie kończy się więc nawet po ukończeniu studiów! W rzeczywistości wydaje się, że była to ulubiona rozrywka matematyków w latach dwudziestych XX wieku. Dopóki Paul Dirac nie zepsuł tego wszystkim, znajdując ogólne rozwiązanie dla każdej liczby.

Chodzi o zagnieżdżone pierwiastki kwadratowe:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Jeśli pierwiastek kwadratowy zostanie zastosowany n razy:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Pozostają tylko logarytmy o podstawie 2:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

I kolejny:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Prowadzi to do ogólnego wzoru:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Jest tylko jeden mały szkopuł: używa trzech dwójek, a nie czterech. Jest to jednak łatwe do poprawienia; ponieważ $2=\sqrt{2+2}$, możemy zastąpić dowolną pojedynczą cyfrę tym wyrażeniem i uzyskać dokładnie cztery:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Można twierdzić, że to oszustwo, ale wydaje się być zgodne z zasadami układanki! Zauważ, że element n w rzeczywistości nigdzie się nie pojawia – jest to tylko pomocnik do zliczania liczby powtórzonych pierwiastków kwadratowych. Na przykład, inny sposób wyrażenia 7 to:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Są dokładnie cztery dwójki i używa się tylko rozsądnych, elementarnych operacji matematycznych do wykonania obliczeń. Jest jasne, że każdą liczbę można wyrazić w ten sposób; jedynym wyzwaniem jest prawidłowe narysowanie tych wszystkich pierwiastków kwadratowych!

Źródła

Czytałem o tej historii w książce Grahama Farmelo The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius. Jak dotąd podoba mi się ta książka.