Hvordan lage et hvilket som helst heltall med bare fire toere

Det finnes en artig matematikkoppgave som kan være interessant for folk på veldig forskjellige nivåer:

Gitt nøyaktig fire forekomster av sifferet 2 og et vilkårlig naturlig tall, bruk hvilke som helst matematiske operasjoner for å generere måltallet med disse toerne, uten å bruke andre sifre.

Noen eksempler kan gjøres av barn på barneskolen:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

På ungdomsskolen lærer barna om eksponenter, fakulteter, osv., noe som utvider spekteret betraktelig:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Så kommer triksene; for eksempel kan tallet 22 (tjueto) sees på som en gyldig bruk av to 2-ere, og så videre; så vi kan ha:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Å komme til 7 er notorisk vanskelig, men hvis du tillater enda flere matematiske verktøy som Gammafunksjonen, blir det enkelt:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Jo mer matematikkunnskaper folk har, jo flere tall kan de lage. Se denne tråden for noen morsomme sammensetninger ved hjelp av integraler, repeterende brøker og kombinatoriske operatorer. Et av mine favoritteksempler involverer komplekse tall:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Så moroa tar ikke slutt selv etter at man er ferdig med universitetet! Faktisk ser dette ut til å ha vært en favoritt-fritidsaktivitet for matematikere på 1920-tallet. Helt til Paul Dirac ødela det for alle ved å finne en generell løsning for hvert tall.

Det handler om nestede kvadratrøtter:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Hvis kvadratroten brukes n ganger:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Alt som gjenstår nå er noen logaritmer med base 2:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

Og en til:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Dette fører til den generelle formelen:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Det er bare en liten hake: den bruker *tre* forekomster av sifferet 2, ikke fire. Dette er imidlertid lett å endre; siden $2=\sqrt{2+2}$, kan vi erstatte et enkelt siffer med det og få nøyaktig fire:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Man kan hevde at dette er juks, men det ser ut til å være i tråd med reglene for oppgaven! Merk at enheten *n* faktisk ikke vises noe sted – den er bare en hjelper for å telle antall gjentatte kvadratrøtter. For eksempel, en annen måte å uttrykke 7 på er:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Det er nøyaktig fire 2-ere, og dette bruker bare fornuftige, elementære matematiske operasjoner for å gjøre beregningen. Det er klart at *ethvert* tall kan uttrykkes på denne måten; den eneste utfordringen er å tegne alle de kvadratrøttene riktig!

Kreditering

Jeg har lest om denne historien i Graham Farmelos bok *The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius*. Jeg liker denne boken så langt.