Hoe je elk geheel getal kunt maken met slechts vier tweeën

Er is een leuke wiskundepuzzel die interessant kan zijn voor mensen op heel verschillende niveaus:

Gegeven exact vier instanties van het cijfer 2 en een willekeurig natuurlijk getal, gebruik wiskundige bewerkingen om het doelgetal te genereren met deze 2-en, zonder andere cijfers te gebruiken.

Sommige voorbeelden kunnen door basisschoolkinderen worden gedaan:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

Op de middelbare school leren kinderen over exponenten, faculteiten, enz., wat het bereik aanzienlijk vergroot:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Dan komen de trucs; het getal 22 (tweeëntwintig) kan bijvoorbeeld worden gezien als een geldig gebruik van twee 2-en, enzovoort; dus we kunnen hebben:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Het is notoir moeilijk om 7 te krijgen, maar als je nog meer wiskundige tools toestaat, zoals de Gammafunctie, wordt het eenvoudig:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Hoe meer wiskundige vaardigheden mensen hebben, hoe meer getallen ze kunnen maken. Zie deze thread voor een aantal leuke brouwsels met integralen, herhalende breuken en combinatorische operatoren. Een van mijn favoriete voorbeelden betreft complexe getallen:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Het plezier houdt dus niet op, zelfs niet nadat je bent afgestudeerd aan de universiteit! Sterker nog, dit lijkt in de jaren twintig een favoriet tijdverdrijf van wiskundigen te zijn geweest. Totdat Paul Dirac het voor iedereen verpestte door een algemene oplossing voor elk getal te vinden.

Het draait allemaal om geneste vierkantswortels:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Als de vierkantswortel *n* keer wordt toegepast:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Nu resteren alleen nog wat logaritmen met grondtal 2:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

En nog een:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Dit leidt tot de algemene formule:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Er is slechts één klein addertje onder het gras: het gebruikt *drie* instanties van het cijfer 2, niet vier. Dit is echter eenvoudig te verhelpen; aangezien $2=\sqrt{2+2}$, kunnen we elk enkel cijfer daarmee vervangen en krijgen we er precies vier:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Je zou kunnen beweren dat dit valsspelen is, maar het lijkt in overeenstemming te zijn met de regels van de puzzel! Merk op dat de entiteit *n* nergens daadwerkelijk voorkomt – het is slechts een hulpmiddel om het aantal herhaalde vierkantswortels te tellen. Een andere manier om 7 uit te drukken is bijvoorbeeld:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Er zijn precies vier 2-en, en dit gebruikt alleen redelijke, elementaire wiskundige bewerkingen om de berekening uit te voeren. Het is duidelijk dat *elk* getal op deze manier kan worden uitgedrukt; de enige uitdaging is om al die vierkantswortels correct te tekenen!

Credits

Ik heb over dit verhaal gelezen in Graham Farmelo’s boek *The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius*. Ik geniet tot nu toe van dit boek.