Kā izveidot jebkuru veselu skaitli, izmantojot tikai četrus divniekus

Save and Share:

Ir tāda jauka matemātikas mīkla, kas varētu būt interesanta cilvēkiem ar ļoti atšķirīgām zināšanām:

Dots tieši četras reizes cipars 2 un kaut kāds mērķa naturāls skaitlis. Izmantojot jebkādas matemātiskas operācijas, ģenerējiet mērķa skaitli ar šiem divniekiem, nelietojot citus ciparus.

Dažus piemērus var atrisināt pat pamatskolas bērni:

$\begin{aligned} 1 & = \frac{2 + 2}{2 + 2} \\ 2 & = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} \\ 3 & = 2 \cdot 2 - \frac{2}{2} \\ 4 & = 2 + 2 + 2 - 2 \\ 5 & = 2 \cdot 2 + \frac{2}{2} \\ 6 & = 2 \cdot 2 \cdot 2 - 2 \end{aligned}$

Vidusskolā bērni apgūst kāpināšanu, faktoriālus utt., kas ievērojami paplašina iespējas:

$\begin{aligned} 18 & = 2^{2^{2}} + 2 \\ 28 & = (2 + 2)! + 2 + 2 \\ 256 & = (2 + 2)^{2 + 2} \\ 65536 & = 2^{2^{2^{2}}} \end{aligned}$

Tad nāk dažādi triki, piemēram, skaitli 22 (divdesmit divi) var uzskatīt par derīgu divu divnieku izmantošanu utt. Tātad mums var būt:

$\begin{aligned} 26 & = 22 + 2 + 2 \\ 11 & = \frac{22}{\sqrt{2 + 2}} \\ 444 & = 222 \cdot 2 \end{aligned}$

Sasniedzot 7, ir ļoti grūti, bet, ja jūs atļaujat vēl vairāk matemātisku rīku, piemēram, gamma funkciju, tas kļūst viegli:

$7 = Γ (2) + 2 + 2 + 2$

Jo vairāk matemātikas prasmju cilvēkiem ir, jo vairāk skaitļu viņi var izveidot. Skatiet šo pavedienu, lai uzzinātu par dažiem interesantiem savienojumiem, izmantojot integrāļus, atkārtojošās daļas un kombinatoriskos operatorus. Viens no maniem iecienītākajiem piemēriem ietver kompleksos skaitļus:

$12 = | 2 + 2 \sqrt{- 2} |^{2}$

Tātad jautrība nebeidzas pat pēc universitātes beigšanas! Patiesībā šķiet, ka tas bija iecienīts matemātiķu laika kavēklis 20. gadsimta 20. gados. Līdz Pols Diraks to visiem sabojāja, atrodot vispārīgu risinājumu katram skaitlim.

Tas viss ir par ligzdotām kvadrātsaknēm:

$\begin{aligned} \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2^{- 1}} \\ \sqrt{\sqrt{2}} = 2^{\frac{1}{4}} = 2^{2^{- 2}} \\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}} = 2^{\frac{1}{8}} = 2^{2^{- 3}} \end{aligned}$

Ja kvadrātsakne tiek izmantota n reizes:

$\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}} = 2^{2^{(- n)}}$

Atliek vien daži 2. bāzes logaritmi:

$\log_{2} 2^{2^{(- n)}} = 2^{(- n)}$

Un vēl viens:

$\log_{2} (\log_{2} 2^{2^{(- n)}}) = - n$

Tas noved pie vispārīgās formulas:

$n = - \log_{2} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}}))$

Ir tikai viena maza nianse: tajā tiek izmantoti trīs divnieka gadījumi, nevis četri. Tomēr to ir viegli izlabot; tā kā $2 = \sqrt{2 + 2}$ , mēs varam aizstāt jebkuru vienu ciparu ar to un iegūt tieši četrus:

$n = - \log_{\sqrt{2 + 2}} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}}))$

Varētu apgalvot, ka tā ir krāpšanās, bet šķiet, ka tas atbilst mīklas noteikumiem! Ņemiet vērā, ka elements n patiesībā nekur neparādās – tas ir tikai palīgs, lai saskaitītu atkārtoto kvadrātsakņu skaitu. Piemēram, vēl viens veids, kā izteikt 7, ir:

$7 = - \log_{\sqrt{2 + 2}} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}))$

Ir tieši četri divnieki, un aprēķina veikšanai tiek izmantotas tikai saprātīgas, elementāras matemātiskās operācijas. Ir skaidrs, ka jebkuru skaitli var izteikt šādā veidā; vienīgais izaicinājums ir pareizi uzzīmēt visas šīs kvadrātsaknes!