Kaip gauti bet kokį sveikąjį skaičių, naudojant tik keturis dvejetus

Yra toks įdomus matematinis galvosūkis, kuris gali būti įdomus labai skirtingo lygio žmonėms:

Turint lygiai keturis skaitmens 2 egzempliorius ir tam tikrą natūralųjį skaičių, reikia bet kokiomis matematinėmis operacijomis išgauti tą skaičių iš šių keturių dvejetų, nenaudojant jokių kitų skaitmenų.

Kai kuriuos pavyzdžius gali išspręsti net pradinukai:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

Pagrindinėje mokykloje vaikai mokosi apie laipsnius, faktorialus ir pan., o tai gerokai praplečia galimybes:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Tada atsiranda triukai; pavyzdžiui, skaičius 22 (dvidešimt du) gali būti laikomas dviejų dvejetų panaudojimu ir t. t.; taigi galime turėti:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Gauti 7 yra labai sunku, bet jei leidžiama naudoti dar daugiau matematinių įrankių, pavyzdžiui, Gama funkciją, tai tampa lengva:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Kuo daugiau matematikos žinių turi žmonės, tuo daugiau skaičių jie gali sudaryti. Štai šioje gijoje rasite įdomių pavyzdžių, naudojant integralus, pasikartojančias trupmenas ir kombinatorinius operatorius. Vienas iš mano mėgstamiausių pavyzdžių yra susijęs su kompleksiniais skaičiais:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Taigi, linksmybės nesibaigia net ir baigus universitetą! Tiesą sakant, atrodo, kad tai buvo mėgstamas matematikų užsiėmimas 1920-aisiais. Kol Paul Dirac viską sugadino, suradęs bendrą sprendimą kiekvienam skaičiui.

Viskas remiasi įdėtinėmis kvadratinėmis šaknimis:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Jei kvadratinė šaknis ištraukiama n kartų:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Belieka tik keli dvejetainiai logaritmai:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

Ir dar vienas:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Tai veda prie bendros formulės:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Yra tik viena maža gudrybė: joje naudojami trys skaitmens 2 egzemplioriai, o ne keturi. Tačiau tai lengva pataisyti, nes $2=\sqrt{2+2}$, todėl galime pakeisti bet kurį vieną skaitmenį šiuo reiškiniu ir gauti lygiai keturis:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Galima teigti, kad tai yra sukčiavimas, bet atrodo, kad tai atitinka galvosūkio taisykles! Atkreipkite dėmesį, kad dydis n iš tikrųjų niekur nefigūruoja – jis tėra pagalbininkas, skirtas suskaičiuoti pasikartojančių kvadratinių šaknų skaičių. Pavyzdžiui, kitas būdas išreikšti 7 yra:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Yra lygiai keturi dvejetai, o skaičiavimui naudojamos tik pagrįstos, elementarios matematinės operacijos. Akivaizdu, kad tokiu būdu galima išreikšti bet kokį skaičių; vienintelis iššūkis yra teisingai nubraižyti visas tas kvadratines šaknis!

Šaltiniai

Apie šią istoriją skaičiau Grahamo Farmelo knygoje „Keisčiausias žmogus: Slaptas Paulio Diraco, kvantinės fizikos genijaus, gyvenimas“. Kol kas man ši knyga patinka.