2 네 개만으로 어떤 정수든 만드는 방법

다양한 수준의 사람들에게 흥미로울 수 있는 귀여운 수학 퍼즐이 있습니다:

정확히 2 네 개와 어떤 자연수가 주어졌을 때, 다른 숫자는 사용하지 않고 임의의 수학 연산을 사용하여 주어진 자연수를 2로만 만드세요.

초등학생도 할 수 있는 몇 가지 예시는 다음과 같습니다:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

중학생이 되면 지수, 팩토리얼 등을 배우면서 범위가 상당히 확장됩니다:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

그 다음은 트릭입니다. 예를 들어, 숫자 22(스물둘)는 2 두 개를 사용하는 유효한 방법으로 볼 수 있습니다. 따라서 다음과 같이 만들 수 있습니다:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

7을 만드는 것은 매우 어렵지만, 감마 함수와 같은 더 많은 수학적 도구를 사용하면 쉬워집니다:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

수학 실력이 좋을수록 더 많은 숫자를 만들 수 있습니다. 적분, 순환소수, 조합 연산자를 사용한 재미있는 조합은 이 스레드를 참조하세요. 제가 가장 좋아하는 예시 중 하나는 복소수를 사용합니다:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

그래서 대학을 졸업한 후에도 재미는 끝나지 않습니다! 실제로 이것은 1920년대 수학자들이 가장 좋아했던 오락이었던 것 같습니다. 폴 디랙이 모든 숫자에 대한 일반해를 찾아 모두를 망치기 전까지는 말이죠.

중첩된 제곱근을 사용하는 것입니다:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

제곱근을 n번 적용하면:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

이제 밑이 2인 로그를 사용합니다:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

그리고 한 번 더:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

이것은 일반적인 공식으로 이어집니다:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

한 가지 작은 문제가 있습니다. 2를 세 번 사용하지, 네 번 사용하지 않습니다. 하지만 이것은 쉽게 수정할 수 있습니다. $2=\sqrt{2+2}$이므로, 2 하나를 이걸로 대체하면 정확히 2 네 개가 됩니다:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

이것은 속임수라고 주장할 수 있지만, 퍼즐의 규칙에 맞는 것 같습니다! 여기서 n은 실제로 কোথাও 나타나지 않습니다. 단지 반복되는 제곱근의 개수를 세는 데 도움이 될 뿐입니다. 예를 들어, 7을 표현하는 또 다른 방법은 다음과 같습니다:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

정확히 2가 네 개 있고, 합리적이고 기본적인 수학 연산만 사용하여 계산합니다. 이 방법으로 *어떤* 숫자든 표현할 수 있다는 것은 분명합니다. 유일한 문제는 그 모든 제곱근을 제대로 그리는 것입니다!

Credits

저는 Graham Farmelo의 책 *The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius*에서 이 이야기를 읽었습니다. 지금까지 이 책을 즐겁게 읽고 있습니다.