4つの2だけで任意の整数を作る方法

Save and Share:

年齢を問わず楽しめる、ちょっと面白い数学パズルがあります。

数字の2を4つだけ使い、他の数字は使わずに、任意の自然数を四則演算などの数学演算で作ってください。

小学生でもできる例をいくつか示します。

$\begin{aligned} 1 & = \frac{2 + 2}{2 + 2} \\ 2 & = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} \\ 3 & = 2 \cdot 2 - \frac{2}{2} \\ 4 & = 2 + 2 + 2 - 2 \\ 5 & = 2 \cdot 2 + \frac{2}{2} \\ 6 & = 2 \cdot 2 \cdot 2 - 2 \end{aligned}$

中学生になると、指数や階乗などを習い、作れる数の範囲が大幅に広がります。

$\begin{aligned} 18 & = 2^{2^{2}} + 2 \\ 28 & = (2 + 2)! + 2 + 2 \\ 256 & = (2 + 2)^{2 + 2} \\ 65536 & = 2^{2^{2^{2}}} \end{aligned}$

ここからが工夫のしどころです。例えば、22（22）は2つの2を有効に使ったものと見なすことができます。これを利用すると、次のようになります。

$\begin{aligned} 26 & = 22 + 2 + 2 \\ 11 & = \frac{22}{\sqrt{2 + 2}} \\ 444 & = 222 \cdot 2 \end{aligned}$

7を作るのは非常に難しいことで有名ですが、ガンマ関数のような、さらに高度な数学的ツールを許容すれば簡単になります。

$7 = Γ (2) + 2 + 2 + 2$

数学の知識が豊富であればあるほど、より多くの数字を作ることができます。こちらのスレッドでは、積分、循環小数、組み合わせ演算子を使った面白い例が紹介されています。私が気に入っている例の1つは、複素数を使ったものです。

$12 = | 2 + 2 \sqrt{- 2} |^{2}$

大学を卒業しても、このパズルの面白さは終わりません。実際、これは1920年代の数学者たちのお気に入りの娯楽だったようです。ポール・ディラックが、すべての数に対する一般的な解を発見して、この楽しみを台無しにしてしまうまでは。

その解法の鍵は、入れ子になった平方根です。

$\begin{aligned} \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2^{- 1}} \\ \sqrt{\sqrt{2}} = 2^{\frac{1}{4}} = 2^{2^{- 2}} \\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}} = 2^{\frac{1}{8}} = 2^{2^{- 3}} \end{aligned}$