Come ottenere qualsiasi numero intero con soli quattro 2

C’è un simpatico puzzle matematico che può essere interessante per persone con livelli di preparazione molto diversi:

Dati esattamente quattro esemplari della cifra 2 e un numero naturale come obiettivo, usa qualsiasi operazione matematica per generare il numero desiderato con questi 2, senza usare altre cifre.

Alcuni esempi possono essere fatti da bambini delle elementari:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

Alle medie, i ragazzi imparano gli esponenti, i fattoriali, ecc. il che espande considerevolmente le possibilità:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Poi ci sono i trucchi; per esempio, il numero 22 (ventidue) può essere considerato un uso valido di due 2, e così via; quindi possiamo avere:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Arrivare a 7 è notoriamente difficile, ma se si utilizzano strumenti matematici ancora più avanzati, come la funzione Gamma, diventa facile:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Più conoscenze matematiche si hanno, più numeri si possono ottenere. Vedi questa discussione per alcune combinazioni interessanti che utilizzano integrali, frazioni ripetute e operatori combinatori. Uno dei miei esempi preferiti coinvolge i numeri complessi:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Quindi il divertimento non finisce nemmeno dopo la laurea! In effetti, questo sembra essere stato un passatempo molto in voga tra i matematici negli anni ’20. Finché Paul Dirac non ha rovinato tutto trovando una soluzione generale per ogni numero.

Si basa su radici quadrate annidate:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Se la radice quadrata è applicata n volte:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Ora servono solo dei logaritmi in base 2:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

E un altro:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Questo porta alla formula generale:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

C’è solo un piccolo problema: usa tre esemplari della cifra 2, non quattro. Tuttavia, è facile correggere; dato che $2=\sqrt{2+2}$, possiamo sostituire qualsiasi cifra singola con questa espressione e ottenerne esattamente quattro:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Qualcuno potrebbe dire che si sta barando, ma sembra essere in linea con le regole del puzzle! Si noti che l’entità n in realtà non compare da nessuna parte – è solo un aiuto per contare il numero di radici quadrate ripetute. Per esempio, un altro modo per esprimere 7 è:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Ci sono esattamente quattro 2, e questo utilizza solo operazioni matematiche ragionevoli ed elementari per fare il calcolo. È chiaro che qualsiasi numero può essere espresso in questo modo; l’unica sfida è disegnare correttamente tutte quelle radici quadrate!

Crediti

Ho letto di questa storia nel libro di Graham Farmelo The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius. Per ora il libro mi sta piacendo molto.