Cara Membuat Bilangan Bulat Apa Pun Hanya dengan Empat Angka Dua

Ada teka-teki matematika menarik yang bisa jadi menarik bagi orang-orang di berbagai tingkatan:

Dengan empat buah angka 2 dan suatu bilangan asli, gunakan operasi matematika apa pun untuk menghasilkan bilangan tersebut dengan angka-angka 2 ini, tanpa menggunakan angka lain.

Beberapa contoh dapat dikerjakan oleh anak-anak sekolah dasar:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

Di sekolah menengah, anak-anak belajar tentang eksponen, faktorial, dll. yang memperluas jangkauan secara signifikan:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Lalu ada trik; misalnya, angka 22 (dua puluh dua) dapat dilihat sebagai penggunaan dua angka 2 yang valid, dan seterusnya; jadi kita bisa punya:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Mendapatkan angka 7 sangat sulit, tetapi jika Anda mengizinkan lebih banyak alat matematika seperti fungsi Gamma, itu menjadi mudah:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Semakin banyak keterampilan matematika yang dimiliki orang, semakin banyak angka yang bisa mereka buat. Lihat utas ini untuk beberapa ramuan menarik menggunakan integral, pecahan berulang, dan operator kombinatorial. Salah satu contoh favorit saya melibatkan bilangan kompleks:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Jadi kesenangannya tidak berakhir bahkan setelah seseorang lulus dari universitas! Bahkan, ini tampaknya menjadi hobi favorit para matematikawan di tahun 1920-an. Sampai Paul Dirac merusaknya untuk semua orang dengan menemukan solusi umum untuk setiap angka.

Ini semua tentang akar kuadrat bersarang:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Jika akar kuadrat diterapkan n kali:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Yang tersisa hanyalah beberapa logaritma basis-2:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

Dan satu lagi:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Ini mengarah pada rumus umum:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Hanya ada satu kerutan kecil: ia menggunakan tiga angka 2, bukan empat. Namun, ini mudah untuk diubah; karena $2=\sqrt{2+2}$, kita dapat mengganti angka tunggal apa pun dengan itu dan mendapatkan tepat empat:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Orang mungkin mengklaim ini curang, tetapi tampaknya sejalan dengan aturan teka-teki! Perhatikan bahwa entitas n sebenarnya tidak muncul di mana pun – itu hanya pembantu untuk menghitung jumlah akar kuadrat berulang. Misalnya, cara lain untuk menyatakan 7 adalah:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Ada tepat empat angka 2, dan ini hanya menggunakan operasi matematika dasar yang masuk akal untuk melakukan perhitungan. Jelas bahwa angka apa pun dapat dinyatakan dengan cara ini; satu-satunya tantangan adalah menggambar semua akar kuadrat itu dengan benar!

Kredit

Saya membaca tentang kisah ini di buku Graham Farmelo The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius. Saya menikmati buku ini sejauh ini.