Hogyan állítsunk elő tetszőleges egész számot négy darab kettest felhasználva?

Van egy aranyos matematikai rejtvény, ami nagyon különböző szintű emberek számára lehet érdekes:

Adott pontosan négy darab 2-es számjegy és egy tetszőleges természetes szám. Használj tetszőleges matematikai műveleteket, hogy előállítsd a megadott számot a négy darab 2-esből, más számjegyek használata nélkül.

Néhány példát általános iskolások is meg tudnak oldani:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

A felső tagozatban a gyerekek tanulnak a hatványozásról, a faktoriálisról stb., ami jelentősen kibővíti a lehetőségeket:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Aztán jönnek a trükkök; például a 22-es szám (huszonkettő) tekinthető két 2-es érvényes használatának, és így tovább; így lehet:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

A 7-est notóriusan nehéz előállítani, de ha még több matematikai eszközt engedélyezünk, például a Gamma-függvényt, akkor könnyűvé válik:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Minél több matematikai ismerettel rendelkezik valaki, annál több számot tud előállítani. Lásd ezt a szálat néhány szórakoztató, integrálokat, ismétlődő törteket és kombinatorikai operátorokat használó megoldáshoz. Az egyik kedvenc példám komplex számokat használ:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Tehát a móka még az egyetem elvégzése után sem ér véget! Valójában úgy tűnik, hogy ez a matematikusok kedvenc időtöltése volt az 1920-as években. Egészen addig, amíg Paul Dirac el nem rontotta mindenki számára azzal, hogy általános megoldást talált minden számra.

Minden az egymásba ágyazott négyzetgyökökről szól:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Ha a négyzetgyököt n-szer alkalmazzuk:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Már csak néhány 2-es alapú logaritmusra van szükség:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

És még egy:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Ez az általános képlethez vezet:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Van egy kis bökkenő: *három* darab 2-es számjegyet használ, nem négyet. Ezt azonban könnyű kijavítani; mivel $2=\sqrt{2+2}$, bármelyik számjegyet helyettesíthetjük ezzel, és pontosan négyet kapunk:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Mondhatnánk, hogy ez csalás, de úgy tűnik, hogy a rejtvény szabályainak megfelel! Vegyük észre, hogy az *n* entitás valójában sehol sem jelenik meg – ez csak egy segítő a négyzetgyökök számának megszámlálásához. Például a 7 egy másik kifejezési módja:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Pontosan négy darab 2-es van, és ez csak ésszerű, elemi matematikai műveleteket használ a számítás elvégzéséhez. Nyilvánvaló, hogy *bármely* szám kifejezhető így; az egyetlen kihívás az összes négyzetgyök helyes megrajzolása!

Forrás

Erről a történetről Graham Farmelo *The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius* című könyvében olvastam. Eddig nagyon élvezem ezt a könyvet.