Kako dobiti bilo koji cijeli broj sa samo četiri dvojke

Postoji zgodna matematička zagonetka koja može biti zanimljiva ljudima na vrlo različitim razinama:

Zadane su točno četiri znamenke 2 i neki ciljani prirodni broj. Koristeći bilo koje matematičke operacije, generirajte ciljani broj s te četiri dvojke, ne koristeći druge znamenke.

Neke primjere mogu riješiti djeca u osnovnoj školi:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

U srednjoj školi djeca uče o eksponentima, faktorijelima itd., što znatno proširuje raspon:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Zatim dolaze trikovi; na primjer, broj 22 (dvadeset i dva) može se smatrati valjanom upotrebom dvije dvojke, i tako dalje; pa možemo imati:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Doći do broja 7 je notorno teško, ali ako dopustite još više matematičkih alata kao što je gama funkcija, postaje lako:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Što ljudi imaju više matematičkog znanja, to više brojeva mogu napraviti. Pogledajte ovu temu za neke zabavne kombinacije koje koriste integrale, ponavljajuće razlomke i kombinatoričke operatore. Jedan od mojih omiljenih primjera uključuje kompleksne brojeve:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Dakle, zabava ne prestaje ni nakon što diplomirate! Zapravo, čini se da je ovo bila omiljena zabava matematičara 1920-ih. Sve dok Paul Dirac nije svima pokvario zabavu pronašavši opće rješenje za svaki broj.

Sve je u ugniježđenim kvadratnim korijenima:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Ako se kvadratni korijen primijeni n puta:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Sve što je preostalo su logaritmi s bazom 2:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

I još jedan:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

To dovodi do opće formule:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Postoji samo jedna mala začkoljica: koristi tri znamenke 2, a ne četiri. Međutim, to je lako ispraviti; budući da je $2=\sqrt{2+2}$, možemo zamijeniti bilo koju pojedinačnu znamenku s tim i dobiti točno četiri:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Netko bi mogao tvrditi da je ovo varanje, ali čini se da je u skladu s pravilima zagonetke! Imajte na umu da se n zapravo nigdje ne pojavljuje – to je samo pomoćnik za brojanje broja ponovljenih kvadratnih korijena. Na primjer, drugi način da se izrazi 7 je:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Postoje točno četiri dvojke, a za izračun se koriste samo razumne, elementarne matematičke operacije. Jasno je da se bilo koji broj može izraziti na ovaj način; jedini izazov je pravilno nacrtati sve te kvadratne korijene!

Zasluge

O ovoj sam priči čitao u knjizi Grahama Farmela The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius. Zasad uživam u ovoj knjizi.