केवल चार बार दो के प्रयोग से कोई भी पूर्णांक कैसे बनाएँ

एक प्यारा गणितीय पहेली है जो विभिन्न स्तरों पर लोगों के लिए दिलचस्प हो सकती है:

अंक 2 के ठीक चार उदाहरण और कुछ लक्षित प्राकृतिक संख्या को देखते हुए, किसी भी गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके इन 2s के साथ लक्षित संख्या उत्पन्न करें, किसी अन्य अंक का उपयोग किए बिना।

कुछ उदाहरण प्राथमिक विद्यालय के बच्चों द्वारा किए जा सकते हैं:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

मिडिल स्कूल में, बच्चे घातांक, क्रमगुणित आदि के बारे में सीखते हैं जो सीमा को काफी बढ़ाता है:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

फिर चालें आती हैं; उदाहरण के लिए, संख्या 22 (बाईस) को दो 2s के वैध उपयोग के रूप में देखा जा सकता है, और इसी तरह; तो हमारे पास हो सकता है:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

7 तक पहुँचना काफी मुश्किल है, लेकिन अगर आप गामा फ़ंक्शन जैसे और भी गणितीय उपकरणों की अनुमति देते हैं, तो यह आसान हो जाता है:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

लोगों के पास जितना अधिक गणित कौशल होता है, वे उतनी ही अधिक संख्याएँ बना सकते हैं। समाकल, दोहराए जाने वाले भिन्नों और संयोजी संचालकों का उपयोग करके कुछ मज़ेदार मिश्रणों के लिए यह थ्रेड देखें। मेरे पसंदीदा उदाहरणों में से एक में जटिल संख्याएँ शामिल हैं:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

तो विश्वविद्यालय से स्नातक होने के बाद भी मज़ा खत्म नहीं होता है! वास्तव में, 1920 के दशक में गणितज्ञों के लिए यह एक पसंदीदा शगल रहा है। जब तक पॉल डिराक ने हर संख्या के लिए एक सामान्य समाधान खोजकर सभी के लिए इसे बर्बाद नहीं कर दिया।

यह सब नेस्टेड वर्गमूलों के बारे में है:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

यदि वर्गमूल *n* बार लगाया जाता है:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

अब बस कुछ बेस-2 लघुगणक बचे हैं:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

और एक और:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

यह सामान्य सूत्र की ओर ले जाता है:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

बस एक छोटी सी झुर्री है: यह अंक 2 के *तीन* उदाहरणों का उपयोग करता है, चार का नहीं। हालाँकि, इसे संशोधित करना आसान है; चूँकि $2=\sqrt{2+2}$, हम किसी भी अंक को उसके साथ बदल सकते हैं और ठीक चार प्राप्त कर सकते हैं:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

कोई यह दावा कर सकता है कि यह धोखा है, लेकिन यह पहेली के नियमों के अनुरूप प्रतीत होता है! ध्यान दें कि इकाई *n* वास्तव में कहीं भी प्रकट नहीं होती है – यह केवल दोहराए गए वर्गमूलों की संख्या को गिनने में सहायक है। उदाहरण के लिए, 7 को व्यक्त करने का एक और तरीका है:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

ठीक चार 2s हैं, और यह गणना करने के लिए केवल उचित, मौलिक गणित संक्रियाओं का उपयोग करता है। यह स्पष्ट है कि *किसी भी* संख्या को इस तरह व्यक्त किया जा सकता है; एकमात्र चुनौती उन सभी वर्गमूलों को ठीक से खींचना है!

क्रेडिट

मैंने इस कहानी के बारे में ग्राहम फार्मेल्लो की किताब *द स्ट्रेंजेस्ट मैन: द हिडन लाइफ ऑफ पॉल डिराक, क्वांटम जीनियस* में पढ़ा है। मैं अब तक इस किताब का आनंद ले रहा हूं।