איך ליצור כל מספר שלם באמצעות ארבע פעמים הספרה 2

Save and Share:

יש חידת מתמטיקה חמודה שיכולה לעניין אנשים ברמות שונות מאוד:

בהינתן ארבע פעמים הספרה 2 ומספר טבעי כלשהו, השתמשו בפעולות מתמטיות כלשהן כדי ליצור את מספר המטרה בעזרת ארבע פעמים הספרה 2, מבלי להשתמש בספרות אחרות.

כמה דוגמאות יכולות להיפתר על ידי ילדים בבית ספר יסודי:

$\begin{aligned} 1 & = \frac{2 + 2}{2 + 2} \\ 2 & = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} \\ 3 & = 2 \cdot 2 - \frac{2}{2} \\ 4 & = 2 + 2 + 2 - 2 \\ 5 & = 2 \cdot 2 + \frac{2}{2} \\ 6 & = 2 \cdot 2 \cdot 2 - 2 \end{aligned}$

בחטיבת הביניים, ילדים לומדים על חזקות, עצרת וכו', מה שמרחיב את הטווח במידה ניכרת:

$\begin{aligned} 18 & = 2^{2^{2}} + 2 \\ 28 & = (2 + 2)! + 2 + 2 \\ 256 & = (2 + 2)^{2 + 2} \\ 65536 & = 2^{2^{2^{2}}} \end{aligned}$

ואז מגיעים הטריקים; לדוגמה, המספר 22 (עשרים ושתיים) יכול להיחשב כשימוש חוקי בשתי פעמים הספרה 2, וכן הלאה; אז יכול להיות לנו:

$\begin{aligned} 26 & = 22 + 2 + 2 \\ 11 & = \frac{22}{\sqrt{2 + 2}} \\ 444 & = 222 \cdot 2 \end{aligned}$

להגיע ל-7 זה קשה לשמצה, אבל אם מאפשרים אפילו יותר כלים מתמטיים כמו פונקציית גמא, זה הופך לקל:

$7 = Γ (2) + 2 + 2 + 2$

ככל שלאנשים יש יותר מיומנויות מתמטיות, כך הם יכולים ליצור יותר מספרים. ראו את הפתיל הזה בשביל כמה תערובות מהנות המשתמשות באינטגרלים, שברים חוזרים ואופרטורים קומבינטוריים. אחת הדוגמאות האהובות עליי כוללת מספרים מרוכבים:

$12 = | 2 + 2 \sqrt{- 2} |^{2}$

אז הכיף לא נגמר גם אחרי שמסיימים את האוניברסיטה! למעשה, נראה שזה היה בילוי מועדף על מתמטיקאים בשנות ה-20. עד שפול דיראק הרס את זה לכולם על ידי מציאת פתרון כללי לכל מספר.

הכל עניין של שורשים ריבועיים מקוננים:

$\begin{aligned} \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2^{- 1}} \\ \sqrt{\sqrt{2}} = 2^{\frac{1}{4}} = 2^{2^{- 2}} \\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}} = 2^{\frac{1}{8}} = 2^{2^{- 3}} \end{aligned}$

אם השורש הריבועי מיושם n פעמים:

$\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}} = 2^{2^{(- n)}}$

כל מה שנשאר עכשיו זה כמה לוגריתמים בבסיס 2:

$\log_{2} 2^{2^{(- n)}} = 2^{(- n)}$

ועוד אחד:

$\log_{2} (\log_{2} 2^{2^{(- n)}}) = - n$

זה מוביל לנוסחה הכללית:

$n = - \log_{2} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}}))$

יש רק בעיה קטנה אחת: זה משתמש ב*שלוש* פעמים הספרה 2, לא בארבע. עם זאת, קל לתקן את זה; מכיוון ש $2 = \sqrt{2 + 2}$ , אנחנו יכולים להחליף כל ספרה בודדת בביטוי הזה ולקבל בדיוק ארבע:

$n = - \log_{\sqrt{2 + 2}} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}}))$

אפשר לטעון שזו רמאות, אבל נראה שזה עולה בקנה אחד עם כללי החידה! שימו לב שהישות n לא באמת מופיעה בשום מקום – זה רק כלי עזר כדי לספור את מספר השורשים הריבועיים החוזרים. לדוגמה, דרך נוספת לבטא את 7 היא:

$7 = - \log_{\sqrt{2 + 2}} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}))$

יש בדיוק ארבע פעמים הספרה 2, וזה משתמש רק בפעולות מתמטיות סבירות ויסודיות כדי לבצע את החישוב. ברור ש*כל* מספר יכול להיות מבוטא בדרך זו; האתגר היחיד הוא לצייר כראוי את כל השורשים הריבועיים האלה!