Comment former n’importe quel nombre entier avec seulement quatre chiffres 2

Il existe une énigme mathématique amusante qui peut intéresser des personnes de niveaux très différents :

Étant donné exactement quatre instances du chiffre 2 et un nombre naturel cible, utilisez n’importe quelle opération mathématique pour générer le nombre cible avec ces 2, sans utiliser d’autres chiffres.

Certains exemples peuvent être réalisés par des enfants de l’école primaire :

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

Au collège, les élèves apprennent les exposants, les factorielles, etc., ce qui élargit considérablement les possibilités :

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Ensuite, il y a les astuces ; par exemple, le nombre 22 (vingt-deux) peut être considéré comme une utilisation valide de deux 2, et ainsi de suite ; on peut donc avoir :

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Arriver à 7 est notoirement difficile, mais si vous autorisez encore plus d’outils mathématiques comme la fonction Gamma, cela devient facile :

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Plus les gens ont de compétences en mathématiques, plus ils peuvent former de nombres. Voir ce fil de discussion pour des combinaisons amusantes utilisant des intégrales, des fractions répétées et des opérateurs combinatoires. Un de mes exemples préférés implique les nombres complexes :

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Le plaisir ne s’arrête donc pas, même après avoir obtenu un diplôme universitaire ! En fait, cela semble avoir été un passe-temps favori des mathématiciens dans les années 1920. Jusqu’à ce que Paul Dirac gâche tout en trouvant une solution générale pour chaque nombre.

Tout est question de racines carrées imbriquées :

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Si la racine carrée est appliquée n fois :

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Il ne reste plus que quelques logarithmes en base 2 :

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

Et un autre :

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Cela conduit à la formule générale :

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Il y a juste un petit problème : elle utilise trois instances du chiffre 2, pas quatre. C’est facile à corriger, cependant ; puisque $2=\sqrt{2+2}$, on peut remplacer n’importe quel chiffre par cela et obtenir exactement quatre :

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

On peut prétendre que c’est de la triche, mais cela semble conforme aux règles de l’énigme ! Notez que l’entité n n’apparaît nulle part – c’est juste une aide pour compter le nombre de racines carrées répétées. Par exemple, une autre façon d’exprimer 7 est :

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Il y a exactement quatre 2, et cela n’utilise que des opérations mathématiques élémentaires et raisonnables pour faire le calcul. Il est clair que n’importe quel nombre peut être exprimé de cette façon ; le seul défi est de dessiner correctement toutes ces racines carrées !

Crédits

J’ai lu cette histoire dans le livre de Graham Farmelo, The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius. J’apprécie ce livre jusqu’à présent.