Miten muodostaa mikä tahansa kokonaisluku käyttäen vain neljää kakkosta

On olemassa näppärä matemaattinen pulma, joka voi olla mielenkiintoinen hyvin erilaisille ihmisille:

Kun käytössä on tasan neljä numeroa 2 ja jokin luonnollinen luku tavoitteena, käytä mitä tahansa matemaattisia operaatioita muodostaaksesi tavoiteluvun näillä neljällä kakkosella, käyttämättä muita numeroita.

Joitakin esimerkkejä voivat ratkaista jo alakoululaiset:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

Yläkoulussa oppilaat oppivat eksponenteista, kertomista jne., mikä laajentaa mahdollisuuksia huomattavasti:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Sitten tulevat temput; esimerkiksi luku 22 (kaksikymmentäkaksi) voidaan nähdä kahden kakkosen sallittuna käyttönä, ja niin edelleen. Niinpä voimme saada:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Luvun 7 muodostaminen on tunnetusti vaikeaa, mutta jos sallitaan vielä enemmän matemaattisia työkaluja, kuten gammafunktio, siitä tulee helppoa:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Mitä enemmän matemaattisia taitoja ihmisillä on, sitä useampia lukuja he voivat muodostaa. Katso tämä keskusteluketju, josta löydät hauskoja luomuksia käyttäen integraaleja, toistuvia murtolukuja ja kombinatorisia operaattoreita. Yksi suosikkiesimerkeistäni sisältää kompleksilukuja:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Hauskuus ei siis lopu edes yliopistosta valmistumisen jälkeen! Itse asiassa tämä näyttää olleen matemaatikkojen suosikkiharrastus 1920-luvulla. Kunnes Paul Dirac pilasi kaiken löytämällä yleisen ratkaisun jokaiselle luvulle.

Kaikki perustuu sisäkkäisiin neliöjuuriin:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Jos neliöjuuri otetaan n kertaa:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Jäljellä on enää muutama kakkoskantainen logaritmi:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

Ja vielä yksi:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Tämä johtaa yleiseen kaavaan:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

On vain yksi pieni ongelma: kaava käyttää *kolmea* kakkosta, ei neljää. Tämä on kuitenkin helppo korjata, sillä $2=\sqrt{2+2}$, joten voimme korvata minkä tahansa yksittäisen numeron tällä ja saada tasan neljä:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Joku voi väittää tätä huijaukseksi, mutta se näyttää olevan pulman sääntöjen mukaista! Huomaa, että *n* ei itse asiassa esiinny missään – se on vain apuväline toistuvien neliöjuurten lukumäärän laskemiseen. Esimerkiksi toinen tapa ilmaista luku 7 on:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Siinä on tasan neljä kakkosta, ja laskutoimituksessa käytetään vain järkeviä, perustavanlaatuisia matemaattisia operaatioita. On selvää, että *mikä tahansa* luku voidaan ilmaista tällä tavalla; ainoa haaste on piirtää kaikki nuo neliöjuuret oikein!

Kiitokset

Olen lukenut tästä tarinasta Graham Farmelon kirjasta *The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius*. Nautin tästä kirjasta toistaiseksi.