چگونه هر عدد صحیحی را تنها با چهار عدد ۲ بسازیم

Save and Share:

یک معمای ریاضی جالب وجود دارد که می‌تواند برای افراد در سطوح مختلف جذاب باشد:

با داشتن دقیقاً چهار تا عدد ۲ و یک عدد طبیعی هدف، از هر عمل ریاضی استفاده کنید تا عدد هدف را با این ۲ها بسازید، بدون اینکه از اعداد دیگری استفاده کنید.

برخی از مثال‌ها را دانش‌آموزان دبستانی هم می‌توانند حل کنند:

$\begin{aligned} 1 & = \frac{2 + 2}{2 + 2} \\ 2 & = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} \\ 3 & = 2 \cdot 2 - \frac{2}{2} \\ 4 & = 2 + 2 + 2 - 2 \\ 5 & = 2 \cdot 2 + \frac{2}{2} \\ 6 & = 2 \cdot 2 \cdot 2 - 2 \end{aligned}$

در دوره راهنمایی، دانش‌آموزان با توان، فاکتوریل و غیره آشنا می‌شوند که دامنه را به طور قابل توجهی گسترش می‌دهد:

$\begin{aligned} 18 & = 2^{2^{2}} + 2 \\ 28 & = (2 + 2)! + 2 + 2 \\ 256 & = (2 + 2)^{2 + 2} \\ 65536 & = 2^{2^{2^{2}}} \end{aligned}$

سپس نوبت به ترفندها می‌رسد. به عنوان مثال، عدد ۲۲ (بیست و دو) را می‌توان به عنوان استفاده‌ای معتبر از دو عدد ۲ در نظر گرفت و به همین ترتیب. بنابراین می‌توانیم داشته باشیم:

$\begin{aligned} 26 & = 22 + 2 + 2 \\ 11 & = \frac{22}{\sqrt{2 + 2}} \\ 444 & = 222 \cdot 2 \end{aligned}$

رسیدن به ۷ به طرز مشهوری دشوار است، اما اگر ابزارهای ریاضی بیشتری مانند تابع گاما را مجاز بدانید، آسان می‌شود:

$7 = Γ (2) + 2 + 2 + 2$

هر چه افراد مهارت ریاضی بیشتری داشته باشند، اعداد بیشتری می‌توانند بسازند. برای دیدن ترکیبات جالبی که با استفاده از انتگرال‌ها، کسرهای تکرارشونده و عملگرهای ترکیبیاتی ساخته شده‌اند، این تاپیک را ببینید. یکی از مثال‌های مورد علاقه من شامل اعداد مختلط است:

$12 = | 2 + 2 \sqrt{- 2} |^{2}$

بنابراین لذت حتی پس از فارغ‌التحصیلی از دانشگاه هم تمام نمی‌شود! در واقع، به نظر می‌رسد این سرگرمی مورد علاقه ریاضیدانان در دهه ۱۹۲۰ بوده است. تا اینکه پل دیراک با پیدا کردن یک راه حل کلی برای هر عدد، آن را برای همه خراب کرد.

همه چیز به ریشه‌های دوم تودرتو مربوط می‌شود:

$\begin{aligned} \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2^{- 1}} \\ \sqrt{\sqrt{2}} = 2^{\frac{1}{4}} = 2^{2^{- 2}} \\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}} = 2^{\frac{1}{8}} = 2^{2^{- 3}} \end{aligned}$

اگر ریشه دوم n بار اعمال شود:

$\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}} = 2^{2^{(- n)}}$

حالا فقط چند لگاریتم در مبنای ۲ باقی مانده است:

$\log_{2} 2^{2^{(- n)}} = 2^{(- n)}$

و یکی دیگر:

$\log_{2} (\log_{2} 2^{2^{(- n)}}) = - n$

این منجر به فرمول کلی می‌شود:

$n = - \log_{2} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}}))$

فقط یک مشکل کوچک وجود دارد: این فرمول از سه عدد ۲ استفاده می‌کند، نه چهار تا. با این حال، این به راحتی قابل اصلاح است. از آنجا که $2 = \sqrt{2 + 2}$ ، می‌توانیم هر عدد تکی را با آن جایگزین کنیم و دقیقاً چهار تا داشته باشیم:

$n = - \log_{\sqrt{2 + 2}} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}}))$

ممکن است کسی ادعا کند که این تقلب است، اما به نظر می‌رسد با قوانین معما مطابقت دارد! توجه داشته باشید که عبارت n در واقع هیچ جا ظاهر نمی‌شود – این فقط یک کمک‌کننده برای شمارش تعداد ریشه‌های دوم تکراری است. به عنوان مثال، یک راه دیگر برای بیان ۷ این است:

$7 = - \log_{\sqrt{2 + 2}} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}))$

دقیقاً چهار عدد ۲ وجود دارد و این فقط از عملیات ریاضی معقول و ابتدایی برای انجام محاسبه استفاده می‌کند. واضح است که هر عددی را می‌توان به این روش بیان کرد. تنها چالش این است که همه آن ریشه‌های دوم را به درستی رسم کنیم!