Kuidas moodustada suvaline täisarv vaid nelja kahte kasutades

On olemas vahva matemaatiline mõistatus, mis pakub huvi väga erineva tasemega inimestele:

Kasutades täpselt nelja numbrit 2 ja mistahes matemaatilisi tehteid, tuleb moodustada etteantud naturaalarv, kasutamata ühtegi teist numbrit.

Mõned näited on jõukohased juba algklassilastele:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

Põhikoolis õpitakse astendamist, faktoriaali jms, mis laiendab võimalusi märgatavalt:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Seejärel tulevad nipid; näiteks arvu 22 (kakskümmend kaks) võib käsitleda kahe 2 õiguspärase kasutusena jne; seega saame:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Arvu 7 saavutamine on kurikuulsalt keeruline, kuid lubades veelgi rohkemaid matemaatilisi tööriistu, nagu gammafunktsioon, muutub see lihtsaks:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Mida rohkem matemaatilisi oskusi inimestel on, seda rohkem numbreid nad moodustada saavad. Vaata seda lõime, et näha lõbusaid kombinatsioone, mis kasutavad integraale, korduvaid murde ja kombinatoorseid operaatoreid. Üks mu lemmiknäiteid hõlmab kompleksarve:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Nii et lõbu ei lõpe isegi pärast ülikooli lõpetamist! Tegelikult näib, et see oli 1920. aastatel matemaatikute lemmik ajaviide. Kuni Paul Dirac rikkus selle kõigi jaoks ära, leides üldise lahenduse iga arvu jaoks.

Kõik põhineb pesastatud ruutjuurtel:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Kui ruutjuurt rakendatakse n korda:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Nüüd on vaja vaid mõningaid 2-aluselisi logaritme:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

Ja veel üks:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

See viib üldvalemini:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

On vaid üks väike konks: see kasutab kolme numbrit 2, mitte nelja. Seda on aga lihtne parandada; kuna $2=\sqrt{2+2}$, saame asendada iga üksiku numbri sellega ja saada täpselt neli:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Võib väita, et see on petmine, kuid see näib olevat kooskõlas mõistatuse reeglitega! Pange tähele, et suurust n ei esine tegelikult kuskil – see on lihtsalt abiline korduvate ruutjuurte arvu loendamiseks. Näiteks teine viis arvu 7 väljendamiseks on:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Siin on täpselt neli kahte ja arvutamiseks kasutatakse ainult mõistlikke elementaarseid matemaatilisi tehteid. On selge, et iga arvu saab sel viisil väljendada; ainus väljakutse on kõigi nende ruutjuurte õigesti joonistamine!

Autorid

Olen sellest loost lugenud Graham Farmelo raamatust “The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius”. Mulle see raamat seni meeldib.