Cómo expresar cualquier entero usando solo cuatro doses

Hay un acertijo matemático curioso que puede ser interesante para personas con diferentes niveles de conocimiento:

Dados exactamente cuatro instancias del dígito 2 y algún número natural como objetivo, usar cualquier operación matemática para generar el número objetivo con estos doses, sin usar ningún otro dígito.

Algunos ejemplos pueden ser resueltos por niños de primaria:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

En secundaria, los estudiantes aprenden sobre exponentes, factoriales, etc., lo que amplía el rango considerablemente:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Luego vienen los trucos; por ejemplo, el número 22 (veintidós) puede verse como un uso válido de dos doses, y así sucesivamente; entonces podemos tener:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Llegar al 7 es notablemente difícil, pero si se permiten aún más herramientas matemáticas como la función Gamma, se vuelve fácil:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Cuanta más habilidad matemática tenga la gente, más números podrá crear. Véase este hilo para ver algunas combinaciones ingeniosas usando integrales, fracciones periódicas y operadores combinatorios. Uno de mis ejemplos favoritos involucra números complejos:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

¡Así que la diversión no termina incluso después de graduarse de la universidad! De hecho, este parece haber sido un pasatiempo favorito para los matemáticos en la década de 1920. Hasta que Paul Dirac lo arruinó para todos al encontrar una solución general para cada número.

Se trata de raíces cuadradas anidadas:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Si la raíz cuadrada se aplica n veces:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Todo lo que queda ahora son algunos logaritmos en base 2:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

Y otro:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Esto lleva a la fórmula general:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Solo hay un pequeño detalle: utiliza tres instancias del dígito 2, no cuatro. Sin embargo, esto es fácil de corregir; ya que $2=\sqrt{2+2}$, podemos reemplazar cualquier dígito individual con eso y obtener exactamente cuatro:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Se podría argumentar que esto es hacer trampa, ¡pero parece estar en línea con las reglas del acertijo! Nótese que la entidad n en realidad no aparece en ninguna parte; es solo una ayuda para contar el número de raíces cuadradas repetidas. Por ejemplo, otra forma de expresar 7 es:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Hay exactamente cuatro doses, y esto usa solo operaciones matemáticas elementales y razonables para hacer el cálculo. Está claro que cualquier número se puede expresar de esta manera; ¡el único desafío es dibujar correctamente todas esas raíces cuadradas!

Créditos

Leí sobre esta historia en el libro de Graham Farmelo *The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius*. Estoy disfrutando este libro hasta ahora.