Πώς να φτιάξετε οποιονδήποτε ακέραιο με τέσσερα δυάρια

Υπάρχει ένας χαριτωμένος μαθηματικός γρίφος που μπορεί να είναι ενδιαφέρων για άτομα με πολύ διαφορετικά επίπεδα γνώσεων:

Έχοντας ακριβώς τέσσερις φορές το ψηφίο 2 και κάποιον φυσικό αριθμό ως στόχο, χρησιμοποιήστε οποιεσδήποτε μαθηματικές πράξεις για να δημιουργήσετε τον αριθμό-στόχο με αυτά τα 2άρια, χωρίς να χρησιμοποιήσετε άλλα ψηφία.

Μερικά παραδείγματα μπορούν να λυθούν από παιδιά δημοτικού:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

Στο γυμνάσιο, τα παιδιά μαθαίνουν για εκθέτες, παραγοντικά, κλπ., πράγμα που επεκτείνει το εύρος σημαντικά:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Μετά έρχονται τα τεχνάσματα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 22 (είκοσι δύο) μπορεί να θεωρηθεί ως έγκυρη χρήση δύο 2, και ούτω καθεξής. Έτσι μπορούμε να έχουμε:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Το να φτάσεις το 7 είναι παροιμιωδώς δύσκολο, αλλά αν επιτρέψεις ακόμα περισσότερα μαθηματικά εργαλεία όπως τη συνάρτηση Γάμμα, γίνεται εύκολο:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Όσο περισσότερες μαθηματικές γνώσεις έχει κάποιος, τόσο περισσότερους αριθμούς μπορεί να φτιάξει. Δείτε αυτό το νήμα για μερικά διασκεδαστικά παρασκευάσματα που χρησιμοποιούν ολοκληρώματα, επαναλαμβανόμενα κλάσματα και συνδυαστικούς τελεστές. Ένα από τα αγαπημένα μου παραδείγματα περιλαμβάνει μιγαδικούς αριθμούς:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Έτσι, η διασκέδαση δεν τελειώνει ακόμα και μετά την αποφοίτηση από το πανεπιστήμιο! Στην πραγματικότητα, αυτό φαίνεται να ήταν ένα αγαπημένο χόμπι για τους μαθηματικούς στη δεκαετία του 1920. Μέχρι που ο Paul Dirac το χάλασε για όλους βρίσκοντας μια γενική λύση για κάθε αριθμό.

Όλα έχουν να κάνουν με εμφωλευμένες τετραγωνικές ρίζες:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Αν η τετραγωνική ρίζα εφαρμοστεί n φορές:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Το μόνο που μένει τώρα είναι μερικοί λογάριθμοι με βάση το 2:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

Και άλλος ένας:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Αυτό οδηγεί στον γενικό τύπο:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Υπάρχει μόνο μια μικρή λεπτομέρεια: χρησιμοποιεί *τρία* ψηφία 2, όχι τέσσερα. Αυτό διορθώνεται εύκολα, ωστόσο. Εφόσον $2=\sqrt{2+2}$, μπορούμε να αντικαταστήσουμε οποιοδήποτε μεμονωμένο ψηφίο με αυτό και να πάρουμε ακριβώς τέσσερα:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Κάποιος μπορεί να ισχυριστεί ότι αυτό είναι κλεψιά, αλλά φαίνεται να είναι σύμφωνο με τους κανόνες του γρίφου! Σημειώστε ότι η οντότητα *n* δεν εμφανίζεται στην πραγματικότητα πουθενά – είναι απλώς ένας βοηθός για να μετρήσει τον αριθμό των επαναλαμβανόμενων τετραγωνικών ριζών. Για παράδειγμα, ένας άλλος τρόπος για να εκφράσουμε το 7 είναι:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Υπάρχουν ακριβώς τέσσερα 2, και αυτό χρησιμοποιεί μόνο λογικές, στοιχειώδεις μαθηματικές πράξεις για να κάνει τον υπολογισμό. Είναι σαφές ότι *οποιοσδήποτε* αριθμός μπορεί να εκφραστεί με αυτόν τον τρόπο. Η μόνη πρόκληση είναι να σχεδιάσεις σωστά όλες αυτές τις τετραγωνικές ρίζες!

Εύσημα

Διάβασα για αυτήν την ιστορία στο βιβλίο του Graham Farmelo *The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius*. Απολαμβάνω αυτό το βιβλίο μέχρι στιγμής.