Wie man mit nur vier Zweien jede ganze Zahl darstellen kann

Es gibt ein hübsches mathematisches Rätsel, das für Leute auf ganz unterschiedlichen Niveaus interessant sein kann:

Gegeben sind genau vier Ziffern 2 und eine beliebige natürliche Zahl. Verwende beliebige mathematische Operationen, um die Zielzahl mit diesen 2en zu erzeugen, ohne andere Ziffern zu verwenden.

Einige Beispiele können von Grundschülern gelöst werden:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

In der Mittelstufe lernen die Kinder Potenzen, Fakultäten usw. kennen, was den Bereich erheblich erweitert:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Dann kommen die Tricks; zum Beispiel kann die Zahl 22 (zweiundzwanzig) als gültige Verwendung von zwei 2en angesehen werden, und so weiter; also können wir haben:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Die 7 zu erreichen ist bekanntlich schwierig, aber wenn man noch mehr mathematische Werkzeuge wie die Gammafunktion zulässt, wird es einfach:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Je mehr mathematische Fähigkeiten die Leute haben, desto mehr Zahlen können sie bilden. Siehe diesen Thread für einige lustige Kreationen mit Integralen, sich wiederholenden Brüchen und kombinatorischen Operatoren. Eines meiner Lieblingsbeispiele beinhaltet komplexe Zahlen:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Der Spaß hört also auch nach dem Universitätsabschluss nicht auf! Tatsächlich scheint dies in den 1920er Jahren ein beliebter Zeitvertreib für Mathematiker gewesen zu sein. Bis Paul Dirac allen den Spaß verdarb, indem er eine allgemeine Lösung für jede Zahl fand.

Es dreht sich alles um verschachtelte Quadratwurzeln:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Wenn die Quadratwurzel n-mal angewendet wird:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Jetzt fehlen nur noch ein paar Zweierlogarithmen:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

Und noch einer:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Dies führt zu der allgemeinen Formel:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Es gibt nur einen kleinen Haken: Sie verwendet drei Ziffern 2, nicht vier. Dies lässt sich jedoch leicht beheben, denn da $2=\sqrt{2+2}$, können wir jede einzelne Ziffer dadurch ersetzen und erhalten genau vier:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Man könnte behaupten, dass dies Schummeln ist, aber es scheint den Regeln des Rätsels zu entsprechen! Beachten Sie, dass die Größe n nirgendwo auftaucht – sie ist nur ein Helfer, um die Anzahl der wiederholten Quadratwurzeln zu zählen. Eine andere Möglichkeit, 7 auszudrücken, ist zum Beispiel:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Es gibt genau vier 2en, und es werden nur vernünftige, elementare mathematische Operationen für die Berechnung verwendet. Es ist klar, dass jede Zahl auf diese Weise ausgedrückt werden kann; die einzige Herausforderung besteht darin, all diese Quadratwurzeln richtig zu zeichnen!

Credits

Ich habe von dieser Geschichte in Graham Farmelos Buch The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius gelesen. Ich genieße dieses Buch bisher sehr.