Sådan laver du ethvert heltal med kun fire 2-taller

Der er en sød lille matematikgåde, som kan være interessant for folk på vidt forskellige niveauer:

Givet præcis fire forekomster af tallet 2 og et vilkårligt naturligt tal, brug da matematiske operationer til at generere måltallet med disse 2-taller, uden at bruge andre cifre.

Nogle eksempler kan løses af folkeskolebørn:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

I de ældste klasser lærer børnene om eksponenter, fakulteter osv., hvilket udvider mulighederne betydeligt:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

Så kommer tricksene; for eksempel kan tallet 22 (toogtyve) ses som en gyldig brug af to 2-taller, og så videre; så vi kan få:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Det er notorisk svært at nå frem til 7, men hvis man tillader endnu flere matematiske værktøjer som gammafunktionen, bliver det let:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Jo flere matematiske færdigheder folk har, jo flere tal kan de lave. Se denne tråd for nogle sjove sammensætninger ved hjælp af integraler, gentagne brøker og kombinatoriske operatorer. Et af mine yndlingseksempler involverer komplekse tal:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Så det sjove stopper ikke, selv efter man er færdiguddannet fra universitetet! Faktisk ser dette ud til at have været en yndet fritidsbeskæftigelse for matematikere i 1920’erne. Indtil Paul Dirac ødelagde det for alle ved at finde en generel løsning for ethvert tal.

Det handler om indlejrede kvadratrødder:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Hvis kvadratroden anvendes n gange:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Nu mangler vi bare nogle logaritmer med base 2:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

Og endnu en:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Dette fører til den generelle formel:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Der er bare en lille hage: den bruger tre forekomster af tallet 2, ikke fire. Det er dog let at rette op på; siden $2=\sqrt{2+2}$, kan vi erstatte et enkelt ciffer med det og få præcis fire:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Man kan hævde, at dette er snyd, men det ser ud til at være i overensstemmelse med gådens regler! Bemærk, at størrelsen n faktisk ikke optræder nogen steder – den er bare en hjælp til at tælle antallet af gentagne kvadratrødder. For eksempel er en anden måde at udtrykke 7 på:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Der er præcis fire 2-taller, og dette bruger kun rimelige, elementære matematiske operationer til at udføre beregningen. Det er klart, at ethvert tal kan udtrykkes på denne måde; den eneste udfordring er at tegne alle de kvadratrødder korrekt!

Kreditering

Jeg har læst om denne historie i Graham Farmelos bog The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius. Jeg nyder bogen indtil videre.