Jak vytvořit jakékoliv celé číslo pouze pomocí čtyř dvojek

Save and Share:

Existuje roztomilá matematická hádanka, která může být zajímavá pro lidi na velmi odlišných úrovních:

Máte k dispozici přesně čtyři číslice 2 a cílové přirozené číslo. Použijte libovolné matematické operace k vygenerování cílového čísla s těmito dvojkami, aniž byste použili jiné číslice.

Některé příklady zvládnou i děti na základní škole:

$\begin{aligned} 1 & = \frac{2 + 2}{2 + 2} \\ 2 & = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} \\ 3 & = 2 \cdot 2 - \frac{2}{2} \\ 4 & = 2 + 2 + 2 - 2 \\ 5 & = 2 \cdot 2 + \frac{2}{2} \\ 6 & = 2 \cdot 2 \cdot 2 - 2 \end{aligned}$

Na střední škole se děti učí o exponentech, faktoriálech atd., což značně rozšiřuje možnosti:

$\begin{aligned} 18 & = 2^{2^{2}} + 2 \\ 28 & = (2 + 2)! + 2 + 2 \\ 256 & = (2 + 2)^{2 + 2} \\ 65536 & = 2^{2^{2^{2}}} \end{aligned}$

Pak přicházejí triky; například číslo 22 (dvacet dva) lze považovat za platné použití dvou dvojek a tak dále; takže můžeme mít:

$\begin{aligned} 26 & = 22 + 2 + 2 \\ 11 & = \frac{22}{\sqrt{2 + 2}} \\ 444 & = 222 \cdot 2 \end{aligned}$

Dostat se k 7 je notoricky obtížné, ale pokud povolíte ještě více matematických nástrojů, jako je funkce Gama, stane se to snadným:

$7 = Γ (2) + 2 + 2 + 2$

Čím více matematických dovedností lidé mají, tím více čísel mohou vytvořit. Podívejte se na toto vlákno, kde najdete zábavné kombinace pomocí integrálů, opakujících se zlomků a kombinačních operátorů. Jeden z mých oblíbených příkladů zahrnuje komplexní čísla:

$12 = | 2 + 2 \sqrt{- 2} |^{2}$

Takže zábava nekončí ani po absolvování univerzity! Ve skutečnosti se zdá, že to byla oblíbená kratochvíle matematiků ve 20. letech 20. století. Dokud to Paul Dirac všem nepokazil tím, že našel obecné řešení pro každé číslo.

Jde o vnořené druhé odmocniny:

$\begin{aligned} \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2^{- 1}} \\ \sqrt{\sqrt{2}} = 2^{\frac{1}{4}} = 2^{2^{- 2}} \\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}} = 2^{\frac{1}{8}} = 2^{2^{- 3}} \end{aligned}$

Pokud je druhá odmocnina aplikována n-krát:

$\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}} = 2^{2^{(- n)}}$

Zbývá už jen několik logaritmů o základu 2:

$\log_{2} 2^{2^{(- n)}} = 2^{(- n)}$

A další:

$\log_{2} (\log_{2} 2^{2^{(- n)}}) = - n$

To vede k obecnému vzorci:

$n = - \log_{2} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}}))$

Je tu jen jeden malý háček: používá tři instance číslice 2, ne čtyři. To se však dá snadno napravit; protože $2 = \sqrt{2 + 2}$ , můžeme nahradit libovolnou číslici tímto a získat přesně čtyři:

$n = - \log_{\sqrt{2 + 2}} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}}))$

Někdo by mohl namítnout, že je to podvádění, ale zdá se, že je to v souladu s pravidly hádanky! Všimněte si, že entita n se ve skutečnosti nikde neobjevuje – je to jen pomocník pro spočítání počtu opakovaných druhých odmocnin. Například jiný způsob, jak vyjádřit 7, je:

$7 = - \log_{\sqrt{2 + 2}} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}))$

Jsou tam přesně čtyři dvojky a k výpočtu se používají pouze rozumné, elementární matematické operace. Je jasné, že jakékoliv číslo lze tímto způsobem vyjádřit; jediným problémem je správně nakreslit všechny ty druhé odmocniny!