শুধুমাত্র চারটি দুই দিয়ে যেকোনো পূর্ণসংখ্যা তৈরি করার উপায়

গণিতের সুন্দর একটি ধাঁধা আছে, যা বিভিন্ন স্তরের মানুষের কাছে মজার মনে হতে পারে:

চারটি ২ এবং যেকোনো একটি স্বাভাবিক সংখ্যা দেয়া থাকলে, অন্য কোনো অঙ্ক ব্যবহার না করে, শুধু গাণিতিক প্রক্রিয়া ব্যবহার করে কীভাবে সেই সংখ্যাটি তৈরি করা যায়?

কিছু উদাহরণ প্রাথমিক বিদ্যালয়ের বাচ্চারাও করতে পারবে:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

মাধ্যমিক বিদ্যালয়ের বাচ্চারা সূচক, ফ্যাক্টোরিয়াল ইত্যাদি সম্পর্কে শেখে, যা এই সীমাকে আরও অনেক বাড়িয়ে দেয়:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

এরপর আসে কিছু কৌশল। যেমন, ২২ (বাইশ) সংখ্যাটিকে দুটি ২-এর বৈধ ব্যবহার হিসাবে দেখা যেতে পারে, এবং এভাবে চলতে থাকে; তাই আমরা লিখতে পারি:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

৭-এ পৌঁছানো বেশ কঠিন, কিন্তু আপনি যদি গামা ফাংশনের মতো আরও গাণিতিক সরঞ্জাম ব্যবহার করেন, তবে এটি সহজ হয়ে যায়:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

মানুষের গণিতের দক্ষতা যত বেশি, তারা তত বেশি সংখ্যা তৈরি করতে পারবে। ইন্টিগ্রাল, পুনরাবৃত্ত ভগ্নাংশ এবং কম্বিনেটোরিয়াল অপারেটর ব্যবহার করে কিছু মজাদার মিশ্রণ দেখতে এই থ্রেডটি দেখুন। আমার প্রিয় একটি উদাহরণে জটিল সংখ্যা জড়িত:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

তাই বিশ্ববিদ্যালয়ের পড়াশোনা শেষ করার পরেও মজা শেষ হয় না! প্রকৃতপক্ষে, ১৯২০-এর দশকে গণিতবিদদের জন্য এটি একটি প্রিয় বিনোদন ছিল। যতক্ষণ না পল ডিরাক প্রতিটি সংখ্যার জন্য একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করে সবার মজা নষ্ট করে দেন।

পুরো ব্যাপারটাই নেস্টেড বর্গমূলের উপর নির্ভরশীল:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

যদি বর্গমূল n বার প্রয়োগ করা হয়:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

এখন শুধু বেস-২ লগারিদম প্রয়োজন:

${\log }_2{2}^{2^{(}}=2^{(-n)}$

এবং আরেকটি:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

এটি সাধারণ সূত্রের দিকে নিয়ে যায়:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

এখানে ছোট একটি সমস্যা আছে: এটি তিনটি ২ ব্যবহার করে, চারটি নয়। তবে, এটি ঠিক করা সহজ; যেহেতু $2=\sqrt{2+2}$, তাই আমরা যেকোনো একটি অঙ্ককে এটি দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারি এবং ঠিক চারটি ২ পেতে পারি:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

কেউ বলতে পারেন যে এটি প্রতারণা, কিন্তু এটি ধাঁধার নিয়মের মধ্যেই পড়ে! লক্ষ্য করুন যে n কোথাও নেই – এটি শুধুমাত্র পুনরাবৃত্ত বর্গমূলের সংখ্যা গণনা করার জন্য একটি সহায়ক। উদাহরণস্বরূপ, ৭-কে প্রকাশ করার আরেকটি উপায় হল:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

এখানে চারটি ২ রয়েছে, এবং এটি গণনা করার জন্য শুধুমাত্র যুক্তিসঙ্গত, মৌলিক গাণিতিক প্রক্রিয়া ব্যবহার করে। এটা স্পষ্ট যে যে কোনো সংখ্যা এইভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে; শুধুমাত্র সেই সমস্ত বর্গমূলগুলি সঠিকভাবে আঁকতে পারাই আসল চ্যালেঞ্জ!

কৃতজ্ঞতা

আমি গ্রাহাম ফার্মেলোর বই দ্য স্ট্রেঞ্জেস্ট ম্যান: দ্য হিডেন লাইফ অফ পল ডিরাক, কোয়ান্টাম জিনিয়াস-এ এই গল্পটি পড়েছি। আমি এখন পর্যন্ত এই বইটি উপভোগ করছি।