Как да получим всяко цяло число само с четири двойки

Има един симпатичен математически пъзел, който може да бъде интересен за хора на много различни нива:

Като се имат точно четири екземпляра на цифрата 2 и някакво целево естествено число, използвайте всякакви математически операции, за да генерирате целевото число с тези двойки, без да използвате други цифри.

Някои примери могат да бъдат решени от деца в началното училище:

$\begin{array}{rl}1& =\frac{2+2}{2+2}\\ 2& =\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\\ 3& =2\cdot 2-\frac{2}{2}\\ 4& =2+2+2-2\\ 5& =2\cdot 2+\frac{2}{2}\\ 6& =2\cdot 2\cdot 2-2\end{array}$

В прогимназията децата учат за степени, факториели и т.н., което значително разширява обхвата:

$\begin{array}{rl}18& =2^{2^2}+2\\ 28& =(2+2)!+2+2\\ 256& =(2+2{)}^{2+2}\\ 65536& =2^{2^{2^2}}\end{array}$

След това идват триковете; например, числото 22 (двадесет и две) може да се разглежда като валидно използване на две двойки и т.н.; така че можем да имаме:

$\begin{array}{rl}26& =22+2+2\\ 11& =\frac{22}{\sqrt{2+2}}\\ 444& =222\cdot 2\end{array}$

Получаването на 7 е известно като трудно, но ако позволите още повече математически инструменти като гама функцията, става лесно:

$7=\mathrm{\Gamma }(2)+2+2+2$

Колкото повече математически умения имат хората, толкова повече числа могат да направят. Вижте тази тема за някои забавни комбинации, използващи интеграли, повтарящи се дроби и комбинаторни оператори. Един от любимите ми примери включва комплексни числа:

$12=|2+2\sqrt{-2}{|}^2$

Така че забавлението не свършва дори след като човек завърши университет! Всъщност, това изглежда е било любимо занимание на математиците през 20-те години на миналия век. Докато Пол Дирак не го развалил за всички, като намерил общо решение за всяко число.

Всичко е свързано с вложени квадратни корени:

$\begin{array}{r}\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}}\\ \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}}\\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}}\end{array}$

Ако квадратният корен се приложи n пъти:

$\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}$

Остават само няколко логаритъма с основа 2:

${\log }_2{2}^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}$

И още един:

${\log }_2({\log }_2{2}^{2^{(-n)}})=-n$

Това води до общата формула:

$n=-{\log }_2({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Има само една малка подробност: използва три екземпляра на цифрата 2, а не четири. Това обаче е лесно да се поправи; тъй като $2=\sqrt{2+2}$, можем да заменим всяка една цифра с това и да получим точно четири:

$n=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\cdots n\cdots \sqrt{2}}}\right))$

Някой може да твърди, че това е измама, но изглежда, че е в съответствие с правилата на пъзела! Имайте предвид, че обектът n всъщност не се появява никъде – той е просто помощник за преброяване на броя на повторените квадратни корени. Например, друг начин да изразите 7 е:

$7=-{\log }_{\sqrt{2+2}}({\log }_2\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}\right))$

Има точно четири двойки и това използва само разумни, елементарни математически операции за извършване на изчислението. Ясно е, че всяко число може да бъде изразено по този начин; единственото предизвикателство е правилното изчертаване на всички тези квадратни корени!

Благодарности

Прочетох за тази история в книгата на Греъм Фармело „Най-странният човек: Скритият живот на Пол Дирак, квантов гений“. Засега ми харесва тази книга.