كيفية تكوين أي عدد صحيح باستخدام أربعة اثنينات فقط

Save and Share:

هناك لغز رياضي لطيف يمكن أن يكون ممتعًا للناس على مستويات مختلفة جدًا:

إذا كان لديك أربعة أرقام من العدد 2 فقط، وهدفك هو عدد طبيعي، فاستخدم أي عمليات رياضية لإنشاء العدد المستهدف باستخدام هذه الاثنينات، دون استخدام أي أرقام أخرى.

يمكن لأطفال المدارس الابتدائية حل بعض الأمثلة:

$\begin{aligned} 1 & = \frac{2 + 2}{2 + 2} \\ 2 & = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} \\ 3 & = 2 \cdot 2 - \frac{2}{2} \\ 4 & = 2 + 2 + 2 - 2 \\ 5 & = 2 \cdot 2 + \frac{2}{2} \\ 6 & = 2 \cdot 2 \cdot 2 - 2 \end{aligned}$

في المرحلة الإعدادية، يتعلم الطلاب عن الأسس، والمضروب، وما إلى ذلك، مما يوسع النطاق بشكل كبير:

$\begin{aligned} 18 & = 2^{2^{2}} + 2 \\ 28 & = (2 + 2)! + 2 + 2 \\ 256 & = (2 + 2)^{2 + 2} \\ 65536 & = 2^{2^{2^{2}}} \end{aligned}$

ثم تأتي الحيل؛ على سبيل المثال، يمكن اعتبار الرقم 22 (اثنان وعشرون) استخدامًا صحيحًا لاثنين من الاثنينات، وهكذا؛ لذلك يمكن أن يكون لدينا:

$\begin{aligned} 26 & = 22 + 2 + 2 \\ 11 & = \frac{22}{\sqrt{2 + 2}} \\ 444 & = 222 \cdot 2 \end{aligned}$

الوصول إلى 7 أمر صعب للغاية، ولكن إذا سمحت بمزيد من الأدوات الرياضية مثل دالة غاما، يصبح الأمر سهلاً:

$7 = Γ (2) + 2 + 2 + 2$

كلما زادت مهارة الناس في الرياضيات، زادت الأعداد التي يمكنهم تكوينها. انظر هذا الموضوع للاطلاع على بعض التركيبات الممتعة باستخدام التكاملات، والكسور المتكررة، والعوامل التوافقية. أحد الأمثلة المفضلة لدي يتضمن الأعداد المركبة:

$12 = | 2 + 2 \sqrt{- 2} |^{2}$

لذلك لا تنتهي المتعة حتى بعد التخرج من الجامعة! في الواقع، يبدو أن هذه كانت هواية مفضلة لعلماء الرياضيات في عشرينيات القرن الماضي. إلى أن قام بول ديراك بإفساد الأمر على الجميع من خلال إيجاد حل عام لكل رقم.

الأمر كله يتعلق بالجذور التربيعية المتداخلة:

$\begin{aligned} \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2^{- 1}} \\ \sqrt{\sqrt{2}} = 2^{\frac{1}{4}} = 2^{2^{- 2}} \\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}} = 2^{\frac{1}{8}} = 2^{2^{- 3}} \end{aligned}$

إذا تم تطبيق الجذر التربيعي n من المرات:

$\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}} = 2^{2^{(- n)}}$

كل ما تبقى الآن هو بعض اللوغاريتمات ذات الأساس 2:

$\log_{2} 2^{2^{(- n)}} = 2^{(- n)}$

وآخر:

$\log_{2} (\log_{2} 2^{2^{(- n)}}) = - n$

يؤدي هذا إلى الصيغة العامة:

$n = - \log_{2} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}}))$

هناك مشكلة صغيرة واحدة فقط: إنها تستخدم *ثلاثة* أرقام من العدد 2، وليس أربعة. ولكن من السهل تعديل هذا؛ بما أن $2 = \sqrt{2 + 2}$ ، يمكننا استبدال أي رقم مفرد بذلك والحصول على أربعة بالضبط:

$n = - \log_{\sqrt{2 + 2}} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\dots n \dots \sqrt{2}}}))$

قد يدعي المرء أن هذا غش، لكنه يبدو متماشيًا مع قواعد اللغز! لاحظ أن الكيان *n* لا يظهر في أي مكان فعليًا – إنه مجرد مساعد لحساب عدد الجذور التربيعية المتكررة. على سبيل المثال، هناك طريقة أخرى للتعبير عن 7 وهي:

$7 = - \log_{\sqrt{2 + 2}} (\log_{2} (\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}}))$

هناك أربعة اثنينات بالضبط، وهذا يستخدم فقط عمليات رياضية أساسية ومعقولة لإجراء الحساب. من الواضح أنه يمكن التعبير عن *أي* رقم بهذه الطريقة؛ التحدي الوحيد هو رسم كل تلك الجذور التربيعية بشكل صحيح!